エジプト人もバビロニア人も面積を求めるときはかなり大雑把で，たとえば四角形の面積では

　　（ａ＋ｃ）／２×（ｂ＋ｄ）／２

のように正確でないおよその面積だすことができなかった．

　四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2

が成り立つ．

　［参］アン・ルーニー「数学は歴史をどう変えてきたか」東京書籍

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［Ｑ］５辺の長さがＡＢ＝３，ＢＣ＝３，ＣＤ＝２，ＤＥ＝２，ＥＡ＝２である五角形の面積の最大値を求めよ．

［Ａ］ＡＣ＝ｘ，ＣＥ＝ｙ，∠ＡＢＣ＝γ，∠ＣＤＥ＝δとおく．余弦定理より

　　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2−２ＡＢ・ＢＣｃｏｓγ

　　ＡＣ^2＝ＣＥ^2＋ＥＡ^2−２ＣＥ・ＥＡｃｏｓ（π−γ）＝ＣＥ^2＋ＥＡ^2＋２ＣＥ・ＥＡｃｏｓγ

→ｘ^2＝１８（１−ｃｏｓγ），ｘ^2＝ｙ^2＋４＋４ｙｃｏｓγ

　同様に，

→ｙ^2＝８（１−ｃｏｓδ），ｙ^2＝ｃ^2＋４＋４ｘｃｏｓδ

→ｃｏｓγ＝（１４−ｙ^2）／２（２ｙ＋９），ｃｏｓδ＝（２−ｘ）／４

→ｙ＝７／２，ｘ＝３３／８

　あとは，ヘロンの公式Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，また，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2　　（ｄ＝０のときヘロンの公式になる）を利用すると，

　　Ｓ＝５／２・√１５

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