４ｎ＋１型素数，４ｎ＋３型素数

　　５ｎ＋１型素数，５ｎ＋２型素数，５ｎ＋３型素数，５ｎ＋４型素数

もっと一般に，１次式

　　ａｘ＋ｂ型素数

は無限の存在することがわかっています（ディリクレの算術級数定理）．

　２次式，たとえば，

　　ｎ^2＋１型素数，ｎ^2＋２型素数

は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　指数式，たとえば，　

　　２^n＋１型素数（フェルマー素数），２^n＋３型素数，２^n−１型素数（メルセンヌ素数）

も無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　その差が２であるような素数のペア（ｐ，ｐ＋２）を双子素数と呼びます．小さな双子素数には（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），・・・など，ちょっと大きなものでは（２２２７１，２２２７３），・・・などがあります．双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていません．

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋４）がともに素数となることは，どれかが必ず３で割れてしまうので（３，５，７）以外にはあり得ません．そこで，

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）がともに素数となるとき，三つ子素数

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６，ｐ＋８）がともに素数となるとき，四つ子素数

と呼ぶことにします．これらも無数に存在する（素数の星座）と予想されていますが，証明はわかっていません．

　シンツェル仮説とは，それらをまとめて拡張した予想です．

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【１】シンツェル仮説（シンツェル予想）

　シンツェル仮説とは，以下の問題を含み，それらをまとめて拡張した予想です．

［１］双子素数（ｎ，ｎ＋２）は無限個存在する

［２］ｎ^2＋１型素数は無限個存在する

［３］ａｎ＋ｂ型素数は無限個存在する（算術級数の素数定理，ディリクレ，１８３７年）

［４１三つ子素数（ｎ，ｎ＋２，ｎ＋６）は無限個存在する

［５］ｎ^2＋４型素数は無限個存在する

［６］２^n−１型素数，２^n＋１型素数は無限個存在する

［７］４以上のどんな偶数も必ず２個の素数の和として表される（ゴールドバッハ予想）

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【２】ｎ^2＋２型素数

　ｎと２ｎ＋１がともに素数となる素数よソフィー・ジェルマン素数と呼び，無限個存在するだろうと予想されているが，証明はされていない．それに対して・・・

　２以上の自然数に対して，ｎとｎ^2＋２がともに素数となるのは，ｎ＝３の場合に限る．

［証］　ｎ＝０（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋２＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｎ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋２＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｎ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋２＝０　　（ｍｏｄ３）

したがって，ｎ^2＋２が素数となるのはｎ＝０（ｍｏｄ３）のときに限る．→ｎが素数なのはｎ＝３に限る．

　２以上の自然数に対して，ｎとｎ^2＋１がともに素数となるのは，無限個存在するだろうと思われる．

　　　　ｎ＝０（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋１＝１　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｎ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋１＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｎ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋１＝２　　（ｍｏｄ３）

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【３】三つ子素数

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋４）がともに素数となることは，（３，５，７）以外にはあり得ない．

［証］　ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｐ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋４＝０　　（ｍｏｄ３）

どれかが必ず３で割れてしまうので（３，５，７）以外にはあり得ないことになる．

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）がともに素数となるとき，三つ子素数と定義すると

ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝１　　（ｍｏｄ３）

ｐ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝１　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝２　　（ｍｏｄ３）

→ｐは３ｎ＋２型素数でなければならない．

　（ｐ，ｐ＋４，ｐ＋６）がともに素数となるとき，三つ子素数と定義した場合も同じだろうか？

ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋４＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝１　　（ｍｏｄ３）

ｐ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋４＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝２　　（ｍｏｄ３）

→ｐは３ｎ＋１型素数でなければならない．

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【４】四つ子素数

　（ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６，ｐ＋８）について，ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考える．

ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝１　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋８＝０　　（ｍｏｄ３）

ｐ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝１　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋８＝１　　（ｍｏｄ３）

→ｐは３ｎ＋２型素数でなければならない．

ｐ＝１（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝３　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝２　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋８＝４　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝２（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝４　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝３　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋８＝０　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝３（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝４　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋８＝１　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝４（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝１　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋６＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　ｐ＋８＝２　　（ｍｏｄ５）

→ｐは５ｎ＋１型素数でなければならない．

　実は，ｐは３０ｎ＋１１型素数でなければならないことがわかっている．

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