アメリカの数学者ポール・ハルモスによれば，ｎ人が集まっていてそのうちの二人の誕生日が同じになる確率が５０％を超えるためには，

　　ｎ＞１．１８×（３６５）^1/2＝２２．５４４

となることが必要であるという．

　ハルモスの概算公式は，ｃを定数として

　　ｃ＝（−２ｌｏｇ（０．５））^1/2〜１．１８

　　ｎ＞ｃ×（３６５）^1/2

というものである．

　（その７）では，この概算方法がどのようにして見つけられたものなのか考察してみたが，

　　［参］ハヴィル「反直観の数学パズル」白揚社

でも解説されていた．私の考察と比較してみたい．

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【Ｑ１】客の中のふたりが同じ誕生日になる確率が５０％を超えるには何人招けばよいか？

（Ａ１）このクイズは数多くの本で取り扱われた有名なものである．ｄ＝３６５として，１番目の人と２番目の人が異なる誕生日である確率は１−１／ｄである．また，３番目の人が１番と２番の人と誕生日が異なる確率は，２番目の人は１番目の人と異なる日に生まれたとして，１−２／ｄである．

　したがって，ｎ人全員が異なる誕生日である確率ｐnは，

　　ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）

となる．求めたい確率ｐは少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率であるから，

　　ｐ＝１−ｐn＞０．５

よりｎ＝２３．

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【２】ハルモスの概算公式

　これ以降の説明は（その７）とは異なっている．

　　ａn＝（１−（ｎ−１）／ｄ）

とおいて，相加相乗平均の不等式を用いる．

　　（Πａn）^1/n≦Σａn／ｎ＝（１−（ｎ−１）／２ｄ）≒１−ｎ／２ｄ

　　ｐn＝（Πａn）≦（１−ｎ／２ｄ）^n

　また，不等式１−ｘ≦ｅｘｐ（−ｘ）より

　　ｐn＝（Πａn）≦（１−ｎ／２ｄ）^n≦ｅｘｐ（−ｎ^2／２ｄ）

　ｐn≒１／２を解けば

　　ｎ≒（２ｌｎ２）^1/2√ｄ＝１．１８√ｄ

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