ｎ次元超球の表面積は

　　Ｓn＝ｎＶn

で与えられる．ここでは表面積和を計算してみたい．

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【１】表面積和の計算

［１］ｎ＝２ｍのとき，

　　ｎＶn=ｎπ^(n/2)/Γ(n/2+1)

　　２ｍＶ2m＝２ｍπ^m/Γ(m+1)＝２ｍπ^m/m!＝２π・π^m-1/（m-1)!　　（ｍ＝１〜）

ここで，

　　exp(x)=Σx^m/m!　　（ｍ＝０〜）

より，

　　Σ２ｍＶ2m＝２πΣπ^m-1／（ｍ−１）！＝２πｅｘｐ（π）

　　２（√２π）ｅｘｐ（π）とは異なっている．

［２］ｎ＝２ｍ＋１のとき，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

　　Ｖ2m+1＝π^m+3/2/Γ(m+3/2)

　　Γ(m+3/2)＝(m+1/2)Γ(m+1/2)＝(m+1/2)(m-1/2)Γ(m-1/2)＝・・・＝(m+1/2)(m-1/2)･･･1/2Γ(1/2)＝（２ｍ＋１）！！／２^m√π

したがって，

　　（２ｍ＋１）Ｖ2m+1＝π^m+3/2/Γ(m+3/2)＝（２ｍ＋１）２^mπ^m+1/2／（２ｍ＋１）！！＝２π２^m-1π^m-1/2／（２ｍ−１）！！

　ここで，

　　Ｅｒｆ(x)=ｅｘｐ（−ｘ^2）Σ２^mｘ^2m+1／（２ｍ＋１）！！

　　ｅｘｐ（ｘ^2）Erf(x)＝Σ２^mｘ^2m+1／（２ｍ＋１）！！

より，

　　Σ（２ｍ＋１）Ｖ2m+1＝２πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π）

　ｍ＝０の分

　　（２ｍ＋１）Ｖ2m+1＝Ｖ1＝２

を加えると，

　　２（１＋πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π））

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【２】まとめ

　［１］は，２（√２π）ｅｘｐ（π）とは異なっている．したがって，

　　ΣｎＶn＝２（√２π）ｅｘｐ（π）＋２（１＋πｅｘｐ（π）Ｅｒｆ（√π））＝２６１．６３５・・・

は「？」である．

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