息子・耕太郎（当時，小学１年生）の宿題に，ミツウロコ文様

　　　△

　　△▽△

が描かれていて，すべての正三角形（下向きの正三角形も含む）を数えると何個あるかという問題をみつけました．息子はミツウロコのことをトライフォースと呼んでおりました．４つの正三角形という意味だと思われますが，多分，アニメ（漫画？）ではそう呼ばれていたのでしょう．ちなみに，息子の答えは，大きな正三角形を数えもらしていたため，４個となっておりましたが，５個が正解です．

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【１】ミツウロコの問題（三角形はいくつある？）

（問）△，▽を正三角形状に積み上げて次数ｎのミツウロコ文様を作る．正三角形はいくつ？

　次数　１　　２　　　　３　　　　　　４　　　　　　　　５

　　　　△　　△　　　　△　　　　　　△　　　　　　　　△

　　　　　　△▽△　　△▽△　　　　△▽△　　　　　　△▽△

　　　　　　　　　　△▽△▽△　　△▽△▽△　　　　△▽△▽△

　　　　　　　　　　　　　　　　△▽△▽△▽△　　△▽△▽△▽△

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△▽△▽△▽△▽△

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（答）基本正三角形の個数は

　　１＋３＋５＋７＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

ですが，基本正三角形を積み重ねてできる大正三角形のなかにあるすべての正正三角形の総数はという問題ですから，求める数は

　　１→５→１３→２７→４８→７８→１１８→・・・

と増えていきます．

　一般項はどのように表されるのでしょうか？　この問題には難しいことは何一つ出てきませんが，口，田，囲の場合と同じように考えようとするとなかなか一筋縄ではいかない問題であることがわかります．

　数え落としや重複など数え間違いのないように整理してから，階差をとるとその理由が見えてくるのですが，

　　　　　　１→５→１３→２７→４８→７８→１１８→・・・

　第１階差　　４→８　→１４→２１→３０→４０→・・・

　第２階差　　　４　→６　→７　→９　→１０→・・・

　第３階差　　　　　２　→１　→２　→１　→・・・

　第３階差では２と１が交互に繰り返しているので，この数列は１つの多項式で表せず，その答えも交互に２つの式で表されることになります．

　この規則性を用いて，ｎ＝８の正三角形の総数を予想すると１７０と求められます．

　　　　　　１→５→１３→２７→４８→７８→１１８→１７０→・・・

　第１階差　　４→８　→１４→２１→３０→４０→５２→・・・

　第２階差　　　４　→６　→７　→９　→１０→１２→・・・

　第３階差　　　　　２　→１　→２　→１　→２　→・・・

（答）

　　ｎが偶数のとき，１／８ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）

　　ｎが奇数のとき，１／８｛ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）−１｝

まとめると

　　１／８［ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）＋｛（−１）^n−１｝／２］

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　ところで，この問題に現れる図形は一見したときよりより多くの辺をもっています．

　次数　　　１　　２　　３　　４　　５　　　　　ｎ

　辺数　　　３　　９　１８　３０　４５　　３ｎ（ｎ＋１）／２

正三角形数　１　　５　１３　２７　４８

　したがって，辺１本あたりの正三角形数は

　　ｎが偶数のとき，（ｎ＋２）（２ｎ＋１）／１２（ｎ＋１）

　　ｎが奇数のとき，｛ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）−１｝／１２ｎ（ｎ＋１）

ということになる．

（問）６本の長さの等しいマッチ棒を使って４個の正三角形を作れ．

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（答）マッチ棒をテーブルの上に並べると，そんなことは不可能のようにみえる．しかし，この問題は２次元に制限されているわけではない．３次元正四面体を作ればよいのである．

　もしあなたがｎ次元人ならば，（ｎ＋１）ｎ／２本の長さの等しいマッチ棒を使って，（ｎ＋１）ｎ（ｎ−１）／６個の正三角形を作ることができる．辺１本あたりの正三角形数は

　　（ｎ−１）／３

ということになります．

［補］ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができ，ｋ次元胞の数はｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）です．

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