口の字には正方形が１個ありますが，田の字には小さい正方形が４個と大きい正方形が１個で，合計５個の正方形があります．さらに，囲の字には小さい正方形が９個，中位の正方形が４個，大きい正方形が１個で，合計１４個の正方形があります．

　次数　１　　２　　　　３　　　　４　　　　　　５

　　　　□　　□□　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　□□　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□□

　さらに次数を増やすと，正方形の合計は

　　１→５→１４→３０→５５→・・・

と増えていくのですが，この数列が

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｎ^2＝１／６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）

で表されることは容易に理解されるでしょう．

　ところで，この問題に現れる図形は一見したときよりより多くの辺をもっています．

　次数　　１　　２　　３　　４　　５　　　　　ｎ

　辺数　　４　１２　２４　４０　６０　　２ｎ（ｎ＋１）

正方形数　１　　５　１４　３０　５５　　１／６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）

　したがって，辺１本あたりの正方形数は

　　（２ｎ＋１）／１２

ということになります．

（問）１２本の長さの等しいマッチ棒を使って６個の正方形を作れ．

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（答）マッチ棒をテーブルの上に並べると，そんなことは不可能のようにみえる．しかし，この問題は２次元に制限されているわけではない．３次元立方体を作ればよいのである．

　もしあなたがｎ次元人ならば，ｎ・２^n-1本の長さの等しいマッチ棒を使って，ｎ（ｎ−１）・２^n-3個の正方形を作ることができる．辺１本あたりの正方形数は

　　（ｎ−１）／４

ということになる．

［補］ｎ次元超立方体の母関数は

　　Σｆkｘ^k＝（２＋ｘ）^n

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）です．

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