シリコンフラーレンの木工模型の作製を試みたところ，副産物として正ｎ角柱を正ｎ角形の中心を結ぶ軸に対してπ／ｎだけねじってできる反角柱に対する公式を導出することができた．しかし，（その１）では肝心の主産物（ねじれ重角錐に対する公式）を導くことはできなかった．
ねじれ重角錐は面の形が凧型であり，その両端の角錐を切り落とすことによってできる多面体は側面に２ｎ枚の五角形が互い違いに噛み合って配置することになる．すなわち，この多面体は平行する天地面に正ｎ角形があり，側面に２ｎ枚の五角形が互い違いに噛み合っているものであり，いわば反角柱の五角形版と考えることができる．
私がこの多面体を重要と考えている理由は，シリコンフラーレンが正方形２枚と５角形８枚からできていること（４^2５^8），コラム「４次元正１２０胞体の３次元投影」で紹介したα体とγ体は正五角形面が両極にあり，その間にそれぞれδ面１０枚（５^2δ^10），ε面１０枚（５^2ε^10）が挟まれた形であること，さらに正６角形２枚と５角形１２枚からなる１４面体（６^2５^12）など，いずれの場合も正ｎ角形面が天地面にあり側面が五角形２ｎ枚の構造（ｎ^2５^2n）になっているからである．
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【１】閉じた形に組まれた（ｎ^2５^2n）構造
五角形ＡＢＣＤＥの頂点の対辺をそれぞれａｂｃｄｅで表し，ａ＝１とすると，δ面とε面の辺の長さと角の大きさは
δ ε δ ε
ａ １ １ Ａ 116.565 138.1898
ｂ 0.866025 0.587785 Ｂ 100.8124 79.1876
ｃ 0.951056 0.866025 Ｃ 110.9051 121.7175
ｄ 0.951056 0.866025 Ｄ 110.9051 121.7175
ｅ 0.866025 0.587785 Ｅ 100.8124 79.1876
となるのですが，このように閉じた形に組めるのはかなり限定された形のみです．
δ面とε面はいずれも閉じた形に組まれた正十二面体の投影図形ですから，正五角形とそれらを用いて閉じた形に組むことができたのですが，反角柱とは違って，任意の五角形ではねじれ重角錐は組めません．ここでは閉じた形に組めるための条件を求めてみることにしましょう．
ねじれ重角錐（ｎ^2５^2n）の五角形の頂点をＡとすると，辺ＣＤが正ｎ角形と組み合わさる辺でその長さをａ，辺ＢＣ＝辺ＤＥ＝ｂ，辺ＡＢ＝辺ＥＡ＝ｃ，底角∠Ｃ＝∠Ｄ＝θ，頂角∠Ａ＝φで表します．θは９０°＜θ＜（９０＋１８０／ｎ）°の値をとるものとします．
そして，頂点Ｃの空間座標を（０，０，０），Ｂ（０，ｙ，ｚ），Ｄ（ａｃｏｓ(π/n)，−ａｓｉｎ(π/n)，０）にとると，
Ｅ（(y+a/(2sin(π/n))sin(2π/n),(y+a/(2sin(π/n))cos(2π/n)-a/(2sin(π/n),z)）
また，頂点Ａの空間座標（ξ，η，ζ）は
ξ＝(y+a/(2sin(π/n))sin(π/n)
η＝(y+a/(2sin(π/n))cos(π/n)-a/(2sin(π/n)
ζ＝z/y{(y+a/(2sin(π/n))(tan(π/n)sin(π/n)+cos(π/n)-1)}+z
で与えられます．
ただし，
ｂ^2＝ｙ^2＋ｚ^2
ｃ^2＝ξ^2＋（η−ｙ）^2＋（ζ−ｚ）^2
ｃ^2ｃｏｓφ＝−ξ^2＋（η−ｙ）^2＋（ζ−ｚ）^2＝ｃ^2−２ξ^2
＝ｃ^2−２(y+a/(2sin(π/n))^2(sin(π/n))^2
ξ，η，ζをｃ^2＝ξ^2＋（η−ｙ）^2＋（ζ−ｚ）^2に代入すると，ｙに関する４次方程式
y^2(y+a/(2sin(π/n))^2{(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}+b^2(y+a/(2sin(π/n))^2(1/cos(π/n)-1)^2=c^2y^2
に帰着されます．
係数だけ抜き出すと
ｙ^4の係数：{(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}
ｙ^3の係数：a/sin(π/n){(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}
ｙ^2の係数：a^2/(2sin(π/n))^2{(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}+b^2(1/cos(π/n)-1)^2-c^2
ｙ^1の係数：ab^2/sin(π/n)(1/cos(π/n)-1)^2
ｙ^0の係数：a^2b^2/(2sin(π/n))^2(1/cos(π/n)-1)^2
δ面（ａ＝１，ｂ＝.866025，ｃ＝.951056，θ＝110.9051，φ＝116.565）
ε面（ａ＝１，ｂ＝.587785，ｃ＝.866025，θ＝121.7175，φ＝138.1898）
は正五角形と一緒にすると閉じた形に組むことができるので，ｎ＝５とおくともちろんこれらの関係式を満たすことになります．
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【２】等辺（ｎ^2５^2n）構造
もし五角形面を等辺にしたいのなら，ａ＝ｂ＝ｃ＝１とおいて０＜ｙ＜１を満たすｙを求めます．実際に方程式を解くと
ｎ＝３：解なし
ｎ＝４：解なし
ｎ＝５：重解
ｎ＝６：解２個
ｎ≧７：解１個
となり，シリコンフラーレン型（４^2５^8）では等辺のものはあり得ないことがわかりました．
ｎ 二面角 θ φ
５ 116.565 108 108 （正十二面体）
６ 153.076 117.238 146.546 （横長五角形）
６ 102.288 97.005 76.9186 （縦長五角形）
７ 99.2919 94.4461 70.5531 （縦長五角形）
８ 97.6236 93.1453 67.4036 （縦長五角形）
９ 96.5175 92.3657 65.5416 （縦長五角形）
10 95.7161 91.8535 64.3282 （縦長五角形）
ｎ→∞のとき，
ｙ^4の係数→１
ｙ^3の係数→１
ｙ^2の係数→１
ｙ^1の係数→０
ｙ^0の係数→０
ですから，解はｙ→０となって五角形面はθ＝９０°，φ＝６０°のホームベース型に近づくことがわかります．この計算は畏友・阪本ひろむ氏に確かめてもらいました．以下に，中川宏さん作によるｎ＝６の２種類の木工模型を掲げます．
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【３】直角（ｎ^2５^2n）構造
噛み合わせ角度をφ＝９０°とし，たとえばａ＝ｂ＝１なる直角五角形にしたい場合は，
ｃ^2＝２(y+a/(2sin(π/n))^2(sin(π/n))^2
ですから，この４次方程式は２次方程式
y^2{-(sin(π/n))^2+(cos(π/n)-1)^2-(1/cos(π/n)-1)^2}+(1/cos(π/n)-1)^2=0
まで還元されます．この方程式はｙ^2の項と定数項だけなので実質的には１次方程式と同じです．
ｎ 二面角 θ ｃ
３ 125.264 135 1.70711
４ 114.47 112.5 1.2483
５ 108.961 103.282 1.03203
６ 105.542 98.7939 .923314
７ 103.194 96.2725 .861621
８ 101.473 94.71 .823233
９ 100.156 93.672 .797681
10 99.1131 92.9459 .779789
ｎ→∞のとき
ｙ^2の係数→−１
ｙ^0の係数→０
よりｙ→０となって，五角形面はθ＝９０°，φ＝９０°のホームベース型に近づくことがわかります．その木工模型（ｎ＝３，４，５，６）を掲げますが，ｎ＝３では底角θ＝１３５°，頂角φ＝９０°なので切頂立方体となります．
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【４】正五角形面（ｎ^2５^2n）構造
正五角形を辺同士で環状に連結していくと，１０枚でちょうどひとつの輪になります．このとき，この連結図形の外縁の噛み合わせ角度は１４４°となります．ここでは，正五角形１０枚で一周するリングから１枚ずつ減らしていって，平行する天地面を正ｎ角形にした場合の噛み合わせ角度を計算してみました．
一般には閉じた形には組めないわけですから，正五角形の頂点の空間座標は（ξ，η，ζ）にはなりません．そこで頂点を（α，β，γ）として求めてみると
β＝-{tan(π/n)/cos(π/n)-(6+√5)y/2z^2}/{(tan(π/n))^2+1+y^2/z^2}
α＝{1/2+βsin(π/n)}/cos(π/n)
γ＝{(6+√5)/8-βy}/z
ただし
ｙ＝-cos(3π/5)/sin(π/n),z=-(1-y^2)^(1/2)
このとき，噛み合わせ部分の角度φは
ｃｏｓφ＝−α^2＋（β−ｙ）^2＋（γ−ｚ）^2
より求めることができて，実際に計算すると
ｎ φ ｎ φ
３ 60 ７ 128.571
４ 90 ８ 135
５ 108 ９ 140
６ 120 10 144
予想通り，ｎ＝５以外では側面の噛み合わせ角度が正五角形の頂角１０８°になりません．すなわち，天地面が正五角形の場合は側面が正五角形１０枚が互い違いに噛み合う立体（正十二面体）になりますが，このように側面の五角形が正五角形になる得るのはｎ＝５のときだけです．
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