［１］第１種チェビシェフ多項式Ｔn（ｘ）の正規化

　　ｐn（ｘ）＝√（２／π）Ｔn（ｘ）

　　ｋn＝２^n-1√（２／π）

　　Ｄn＝π^n+1／２^(n^2)

［２］第２種チェビシェフ多項式Ｕn（ｘ）の正規化

　　ｐn（ｘ）＝√（２／π）Ｕn（ｘ）

　　ｋn＝２^n√（２／π）

　　Ｄn＝π^n+1／２^((n+1)^2)

［３］ルジャンドル多項式Ｐn（ｘ）の正規化

　　ｐn（ｘ）＝√（（２ｎ＋１）／２）Ｐn（ｘ）

　　ｋn＝（２ｎ）！／２^n（ｎ！）^2√（（２ｎ＋１）／２）

　　Ｄn＝２^((n+1)^2)／Π（２ｋ＋１）（２ｋ，ｋ）^2

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［４］ハンケル行列式とセルバーグ積分

　セルバーグ積分

　　∫(0,1)・・・∫(0,1)Πｔi^(x-1)（１−ｔi）^(y-1)Π｜ｔi−ｔj｜^(2z)ｄｔ1・・・ｄｔn

　　＝ΠΓ（x+(j-1)z）Γ（y+(j-1)z）Γ（jz+1）／Γ（x+y+(n+j-2)z）Γ（z+1）

は久しく忘れられていたのですが，近年になってにわかに注目されるようになりました．１つにはランダム行列の分配関数の明示的公式を与えること，１つには２次元共形場理論における頂点作用素の表示を与えるのに有効なこと，また１つにはＡ型帯球関数である直交多項式に深いつながりがあることがわかってきたからだそうです．すなわち，ｚ＝１のときはヤコビ多項式のハンケル行列式に等しい．ｚ＝１／２のときは実対称行列，ｚ＝２のときは実シンプレクティック行列の不変測度による積分の相関係数に関係があります．

　ｎ＝１のときはベータ関数の積分，ｎ＝２のときはＤｉｘｏｎ積分（１９０３年），セルバーグは一般のｎに対してこれを１９４４年に証明しています．

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　Ｄn，ｐn（ｘ）は，以下のセルバーグ積分表示をもつ．

　　Ｄn＝１／（ｎ＋１）！∫(a,b)・・・∫(a,b)Πε（ｔi）Π｜ｔi−ｔj｜^2ｄｔ1・・・ｄｔn

　　ｐn（ｘ）＝１／ｎ！√Ｄn-1Ｄn∫(a,b)・・・∫(a,b)Πε（ｔi）（ｘ−ｔi）Π｜ｔi−ｔj｜^2ｄｔ1・・・ｄｔn

　したがって，これらはランダム行列や共形場理論において，相関係数として現れる基本的な量である．

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