数列｛ａn｝に対して，Ｈ0^(n)＝１，Ｈ1^(n)＝ａn，

　　Ｈ2^(n) ＝｜ａn ，ａn+1｜

　　　　　　　｜ａn+1，ａn+2｜

　　Ｈk^(n) ＝｜ａn ，ａn+1，・・・，ａn+k-1 ｜

　　　　　　　｜ａn+1，ａn+2，・・・，ａn+k　 ｜

　　　　　　　｜・・・・・・・・・・・・・・・｜

　　　　　　　｜ａn+k-1，ａn+k，・・，ａn+2k-1｜

をハンケル行列式という．

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［１］ヤコビの恒等式

　　（Ｈk^(n)）^2−Ｈk^(n-1)Ｈk^(n+1)＋Ｈk+1^(n-1)Ｈk-1^(n+1)＝０

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［２］モーメント

　　（ｆ，ｇ）＝∫(-1,1)ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ

を内積と呼び，（ｆ，ｇ）＝０のとき直交するという．これを，一般化することを考える．区間［ａ，ｂ］，重み関数ε（ｘ）とする．

　　（ｆ，ｇ）＝∫(a,b)ε（ｘ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ

　　ｃn＝∫(a,b)ε（ｘ）ｘ^nｄｘをモーメントという．

区間［ａ，ｂ］上で，ε（ｘ）＝１のとき，

　　ｃn＝（ｂ^n+1−ａ^n+1）／（ｎ＋１）　

区間［−１，１］上で，ε（ｘ）＝１／√ｘ（１−ｘ）のとき，

　　ｃn＝（２ｎ−１）／２ｎ・ｃn-1＝（２ｎ−１）！！π／２^nｎ！

　　Ｄn ＝｜ｃ0，ｃ1，・・・，ｃn　｜

　　　　　｜ｃ1，ｃ2，・・・，ｃn+1｜

　　　　　｜・・・・・・・・・・・ ｜

　　　　　｜ｃn，ｃn+1，・・，ｃ2n ｜

区間［０，１］上で，ε（ｘ）＝１のとき，

　　ｃn＝１／（ｎ＋１），Ｄn＝１／Π（２ｋ＋１）（２ｋ，ｋ）^2

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［３］直交多項式の正規化

　　直交多項式Ｐn（ｘ）の正規化ｐn（ｘ）＝ｋnｘ^n＋・・・には，

　　ｐn（ｘ） ＝１／√Ｄn-1Ｄn｜ｃ0，ｃ1，・・・，ｃn　｜

　　　　　　　　　　　　　　　｜ｃ1，ｃ2，・・・，ｃn+1｜

　　　　　　　　　　　　　　　｜・・・・・・・・・・・ ｜

　　　　　　　　　　　　　　　｜ｃn-1，ｃn，・・，ｃ2n-1｜

　　　　　　　　　　　　　　　｜　１，　ｘ、・・・，ｘ^n｜

　　ｋn＝√Ｄn-1／Ｄn

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