ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt t=0~1

によって定義されます．

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【１】ディリクレ分布（多変量ベータ分布）

　ベータ関数を多変数化すると，ディリクレの積分公式

　　∫ｘ1^(p1-1)･･･ｘm^(pm-1)（１−ｘ1−・・・−ｘm）^(q-1)ｄｘ1・・・ｄｘm

　＝Γ(p1)･･･Γ(pm)Γ(q)／Γ(p1+･･･+pm+q)

が得られます．

　→［参］高木貞治「解析概論」岩波書店，ｐ359

　ここでは一般的な形で与えましたが，たとえば，３次元空間において座標面と平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝１とで囲まれた四面体Ｋを積分区域とすると

　　Ｓ＝∫∫∫(K)ｘ^(p-1)ｙ^(q-1)ｚ^(r-1)（１−ｘ−ｙ−ｚ）^(s-1)ｄｘｄｙｄｚ

　　　＝Γ(p)Γ(q)Γ(r)Γ(s)／Γ(p+q+r+s)

になるというわけです．

　コラム「定数項予想入門」において，ディクソンの恒等式の拡張が

　　Σ(-1)^j(a+b,a+j)(b+c,b+j)(c+a,c+j)=(a+b+c)!/a!b!c!

であることから，ダイソンは

　　Π（１−ｘk／ｘj）^aiの定数項＝(a1+a2+･･･+an)!/a1!a2!･･･an!

なる予想（ダイソンの定数項予想）にたどりついたことを解説しましたが，

　　ｎ！＝Γ（ｎ＋１）

より，これとよく似た形で表されることがおわかりいただけるでしょう．

　積分すると１になるように規格化したものがディリクレ分布で，ｘ1，ｘ2，・・・ｘm-1，ｘmが独立でそれぞれ自由度２θiのカイ２乗分布にしたがうとして，

　　ｘm＝１−Σｘi，ｙi＝ｘi／Σｘi

とおくと（ｙ1，・・・，ｙm-1）の同時確率密度関数は

　　ｆ（ｙ1，・・・，ｙm-1）＝Γ（Σθi）／ΠΓ（θi）・Πｙi^(θi-1)

　このｍ−１次元分布をディリクレ分布と呼びます．ｍ＝２のときがベータ分布であって，ベータ分布の多次元化とみなすことができます．また，ディリクレ分布の周辺分布はベータ分布になります．

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【２】セルバーグ積分

　ベータ関数の多重積分版として，セルバーグは次の積分公式を得ました．

　　∫(0,1)・・・∫(0,1)Πｔi^(x-1)（１−ｔi）^(y-1)Π｜ｔi−ｔj｜^(2z)ｄｔ1・・・ｄｔn

　　＝ΠΓ（x+(j-1)z）Γ（y+(j-1)z）Γ（jz+1）／Γ（x+y+(n+j-2)z）Γ（z+1）

　左辺にある

　　Δn(t)＝Π（ｔi−ｔj）

は差積ですから，電子の励起状態や原子核のエネルギー準位に関連していることが想像されます．

　差積はファンデルモンド行列式に等しく，

　　Δn(t)^(2k)＝Π｜ｔi−ｔj｜^(2k)＝Σc(α1,･･･,αn)ｔ1＾α1･･･ｔn＾αn

のようにｔについての対称式に展開することができます．ここで，c(α)=c(α1,･･･,αn)は整数です．

　また，左辺の

　　∫(0,1)ｔi^(x-1)（１−ｔi）^(y-1)ｄｔi＝Γ(x)Γ(y)／Γ(x+y)

はベータ関数であり，これより

　　Ｓ＝Σc(α1,･･･,αn)ΠΓ(x+αj)Γ(y)／Γ(x+y+αj)

　　　＝c(z)ΠΓ（x+(j-1)z）Γ（y+(j-1)z）／Γ（x+y+(n+j-2)z）

　積分Ｓの被積分関数がｔ1，・・・，ｔnについて対称であることから，ｎ次元超立方体[0,1]^nをｎ！個の単体に分割して

　　Ｓ＝ｎ！∫(0,1)∫(tn,1)∫(tn-1,1)・・・∫(t2,1)Δn(t)^(2k)Πｔi^(x-1)（１−ｔi）^(y-1)ｄｔ1・・・ｄｔn

　これらの結果を併わせると

　　c(z)＝Γ（jz+1）／Γ（z+1）

となり，セルバーグの積分公式が証明されます．

　→［参］三町勝久「ダイソンからマクドナルドまで」群論の進化・第４章，朝倉書店

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【３】直交多項式とセルバーグ積分

　ｎ＝１のときはベータ関数の積分，ｎ＝２のときはＤｉｘｏｎ積分（１９０３年），セルバーグは一般のｎに対してこれを１９４４年に証明しています．

　セルバーグ積分は久しく忘れられていたのですが，近年になってにわかに注目されるようになりました．１つにはランダム行列の分配関数の明示的公式を与えること，１つには２次元共形場理論における頂点作用素の表示を与えるのに有効なこと，また１つにはＡ型帯球関数である直交多項式に深いつながりがあることがわかってきたからだそうです．すなわち，ｚ＝１のときはヤコビ多項式のハンケル行列式に等しい．ｚ＝１／２のときは実対称行列，ｚ＝２のときは実シンプレクティック行列の不変測度による積分の相関係数に関係があります．

　セルバーグ積分の応用については，これから先はよくわからないのでやめておきます．生兵法はけがのもと・・・．

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