（その２６）の問題

　　ｙ＝（１＋１／ｘ）^(x+1/2)＞ｅ

の指数の引数を変えてみる．

　　ｙ＝（１＋１／ｘ）^(x+1/3)＞ｅ

は成り立つのだろうか？

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　　ｙ＝（１＋１／ｘ）^(x+1/3)　　（ｘ≧１）

　ｌｏｇｙ＝（ｘ＋１／３）｛ｌｏｇ（ｘ＋１）−ｌｏｇｘ｝　

　　ｙ’／ｙ＝｛ｌｏｇ（ｘ＋１）−ｌｏｇｘ｝＋（ｘ＋１／３）｛１／（ｘ＋１）−ｌ／ｘ｝＝｛ｌｏｇ（ｘ＋１）／ｘ｝−（ｘ＋１／３）／ｘ（ｘ＋１）

　ここで，

　　（ｘ＋１／３）（ｘ＋２／３）＞ｘ（ｘ＋１）

より

　　ｙ’／ｙ＞｛ｌｏｇ（ｘ＋１）／ｘ｝−１／（ｘ＋２／３）

ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

ｌｏｇ（１＋１／ｘ）＝１／ｘ−１／（２ｘ^2）＋１／（３ｘ^3）−１／（４ｘ^4）＋・・・

０＜１／ｘ−１／（ｘ＋２／３）＝１／３ｘ（ｘ＋２／３）＜１／（３ｘ^2）

｛ｌｏｇ（ｘ＋１）／ｘ｝−１／（ｘ＋２／３）＜−１／（６ｘ^3）−１／（４ｘ^4）＋・・・

　これより，ｙは減少関数であるから

　　ｙ＜２^4/3＝２．５１９８４

ところが，実際は増加関数で，ｘ→∞のとき，ｙ→ｅであるから，ｙは減少関数のはずがない．この場合も，どこかで不等号の向きを間違えたのであろう．

1 2.51984

1.1 2.52649

1.2 2.53301

1.3 2.5393

1.4 2.54533

1.5 2.55107

1.6 2.55652

1.7 2.56169

1.8 2.56659

1.9 2.57122

2 2.57561

2.1 2.57976

2.2 2.5837

2.3 2.58744

2.4 2.59099

2.5 2.59436

2.6 2.59756

2.7 2.60061

2.8 2.60352

2.9 2.60629

3 2.60893

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