■書ききれなかった微分積分の話(その27)

 (その26)に関係したことであるが,スターリング近似に関係する不等式を掲げてみたい.

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[1]  e(n/e)^n<n!<en(n/e)^n

     e<√(2πn)<en

     e(n/e)^n<√(2πn)(n/e)^n<en(n/e)^n

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[2]  1/n・2/n・・・(n−1)/n・n/n≦1/2^n-1

(証)左辺に対して,相加平均・相乗平均不等式を適用すると

  左辺≦(Σk/n^2)^n=((n+1)/2n)^n=1/2^n(1+1/n)^n

ここで,

  (1+1/n)^n

は増加数列で

  2≦(1+1/n)^n≦e

あることがいえるので,n!≦2(n/2)^nが証明されたことになる.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[3]

  n!^2=(1・2・・・n)(n・・・2・1)=Πk(n+1−k)

  Πn≦n!^2≦Π(n+1)^2/4

より

  n^n/2≦n!≦(n+1)^n/2^n

  2^n(1+1/n)^-n≦n^n/n!≦n^n/2

が成り立つ.

 ここで,

  (1+1/n)^n

は増加数列で

  2≦(1+1/n)^n≦e

あるので,

  2^n/2≧2^n(1+1/n)^-n

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