（その３）を補足したい．

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【１】シェフェ数

　ｋ群の多重比較の場合，対比する組み合わせ数はフィッシャー法で１，ダネット法でｋ−１，チューキー法で kＣ2 ＝ｋ（ｋ−１）／２，シェフェ法ではさらに多くの作り方があります．

　たとえば，５群の平均値（μ1 ，μ2 ，μ3 ，μ4 ，μ5 ）のシェフェ型多重比較を考える場合，μ3 −μ4 のような１対１の対比（対比較）に限ってもｋ（ｋ−１）／２通りあり，場合によっては（μ1 ，μ3 ，μ5 ），（μ2 ，μ4 ）という２群に分けて対比する（線形比較）ことが必要になることもあるでしょう．（μ1 ＋μ3 ＋μ5 ）／３−（μ2 ＋μ4 ）／２という対比は，（μ1 ，μ3 ，μ5 ）群と（μ2 ，μ4 ）群の平均値の平均との比較と解釈できますが，すべての対比というと（μ1 ＋３μ3 ＋μ5 ）−（０．５μ2 ＋４．５μ4 ）のような意味付け不明のものまで無限に含まれるので，ここでは実際面からいって意味のある対比に絞ってその組み合わせをすべて数えあげて

みます．

　線形比較において任意の平均値の線型結合をθ＝ｃ1 μ1 ＋ｃ2 μ2 ＋・・・＋ｃk μk ，比較される群の決定は重み係数ｃi で行なうことにして，比較する一方の群の重み係数に１／（合併する群の数），他の群に−１／（合併する群の数），残りに０を当てると，重み係数は対比較および任意の群を合併した後の群間比較に対応した意味合いをもってきます（たとえば，３群の多重比較において第１群と第３群を比較するならｃ1 ＝１，ｃ2 ＝０，ｃ3 ＝−１，第１群と第２群を併合し第３群と比較するならｃ1 ＝１／２，ｃ2 ＝１／２，ｃ3 ＝−１とすると対比較も線形比較も統一的に扱うことができる）．

　ｋ群の対比較に限ってみるとその組み合わせ方は kＣ2 通りになりますが，線形比較まで多重比較を拡張するとその組み合わせ方が何通りになるかを直感的に勘案することは簡単ではありません．　１対１の対比を行なう場合，前者の選び方は kＣ1 通り，後者の選び方は前者を除いたｋ−１群から１群を抽出するので k-1Ｃ1 通り，前者と後者の順序は考えないわけですから，１対１の対比の作り方は kＣ1 × k-1Ｃ1 ／２（＝ kＣ2 ）通りあります．　同様にして，１対２の対比数は kＣ1 × k-1Ｃ2 通りになりますが，これは（ kＣ1 × k-1Ｃ2 ＋ kＣ2 × k-2Ｃ1 ）／２すなわち順序を考慮したうえで１対２の対比と２対１の対比を加えそれを半分にしたものと等値です．　以上の考え方を演繹していくと，任意の組み合わせで対比する場合のすべての対比数は下表の数値を足して２で割った値になることがわかります．

　　　　　　１　　　　　　２　　　　　　　ｋ−２　　　　　ｋ−１

１　　　kＣ1×k-1Ｃ1　kＣ1×k-1Ｃ2　・　kＣ1×k-1Ｃk-2　kＣ1×k-1Ｃk-1

２　　　kＣ2×k-2Ｃ1　kＣ2×k-2Ｃ2　・　kＣ2×k-2Ｃk-2　　　−

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｋ−２　kＣk-2×2Ｃ1　kＣk-2×2Ｃ2 　　　　　−　　　　　　　−

ｋ−１　kＣk-1×1Ｃ1　　　　−　　　　　　　−　　　　　　　−　

　１行目の合計は kＣ1 ×（ k-1Ｃ1 ＋ k-1Ｃ2 ＋・・・＋ k-1Ｃk-2 ＋ k-1Ｃk-1 ）＝ kＣ1 ×（２k-1 −１），同様に２行目は kＣ2 ×（２k-2 −１），ｋ−１行目は kＣk-1 ×（２1 −１）とまとめられますから，すべての行の結果を総合した最終的な対比数は｛ kＣ1 ×（２k-1 −１）＋ kＣ2 ×（２k-2 −１）＋・・・＋ kＣk-1 ×（２1 −１）｝／２通りになります．　 kＣ1 ＝ kＣk-1 ， kＣ2 ＝ kＣk-2 ，・・・を利用するとこの式をさらに整理することができます．

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【２】シェフェ数（再考）

　前節で調べた方法はあまり感心できるものではありません．包除原理を用いることにしましょう．

［１］Ａ，Ｂ，Ｃへの割り付け全体　　３^n

［２］Ａを除いてＢ，Ｃに割り付ける　　２^n

［３］Ｂを除いてＡ，Ｃに割り付ける　　２^n

［４］Ｃだけに割り付ける，すなわち［２＋３］の共通部分　　１

　シェフェ数は前者と後者の順序は考えないわけですから，これらを足して２で割った値になることがわかります．

　　（３^n−２・２^n＋１）／２！＝３^n-1／２−２^n＋１／２

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【３】第２種スターリング数（nＳ3の場合）

［１］Ａ，Ｂ，Ｃへの割り付け全体　　３^n

［２］Ａを除いてＢ，Ｃに割り付ける　　２^n

［３］Ｂを除いてＡ，Ｃに割り付ける　　２^n

［４］Ｃを除いてＡ，Ｂに割り付ける　　２^n

［５］Ａだけに割り付ける　　１

［６］Ｂだけに割り付ける　　１

［７］Ｃだけに割り付ける　　１

　　（３^n−３・２^n＋３）／３！＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　包除原理を用いると，一般項は

　　nＳk＝１／ｋ！Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

となることがわかります．

　　nＳ2＝２^n-1−１

　　nＳ3＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　　nＳ4＝４^n-1／６−３^n-1／２＋２^n-2−１／６

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