［参］米谷達也，斉藤浩「大学数学への道」現代数学社

より，三つ子素数，五つ子素数と類似の問題を掲げる．

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［Ｑ１］　（ｐ，２ｐ＋１，４ｐ＋１）がともに素数となるｐをすべて求めよ．

ｐ＝０（ｍｏｄ３）のとき，２ｐ＋１＝１　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　４ｐ＋１＝１　　（ｍｏｄ３）

ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき，２ｐ＋１＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　４ｐ＋１＝２　　（ｍｏｄ３）

ｐ＝２（ｍｏｄ３）のとき，２ｐ＋１＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　　　　　　　　　　４ｐ＋１＝０　　（ｍｏｄ３）

→ｐは３の倍数でなければならない．→どれかひとつは３でなければならない．

　ｐ＝３（ＯＫ），２ｐ＋１＝３（ＮＧ），４ｐ＋１＝３（ＮＧ）

→ｐ＝３

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［Ｑ２］　（ｐ，２ｐ＋１，４ｐ−１，６ｐ−１，８ｐ＋１）がともに素数となるｐをすべて求めよ．

ｐ＝０（ｍｏｄ５）のとき，２ｐ＋１＝１　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　４ｐ−１＝４　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　６ｐ−１＝４　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　８ｐ＋１＝１　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝１（ｍｏｄ５）のとき，２ｐ＋１＝３　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　４ｐ−１＝３　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　６ｐ−１＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　８ｐ＋１＝４　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝２（ｍｏｄ５）のとき，２ｐ＋１＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　４ｐ−１＝２　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　６ｐ−１＝１　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　８ｐ＋１＝２　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝３（ｍｏｄ５）のとき，２ｐ＋１＝２　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　４ｐ−１＝１　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　６ｐ−１＝２　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　８ｐ＋１＝０　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝４（ｍｏｄ５）のとき，２ｐ＋１＝４　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　４ｐ−１＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　６ｐ−１＝３　　（ｍｏｄ５）

　　　　　　　　　　　　　８ｐ＋１＝０　　（ｍｏｄ５）

→ｐは５の倍数でなければならない．→どれかひとつは３でなければならない．

　ｐ＝５（ＯＫ），２ｐ＋１＝５（ＯＫ），４ｐ−１＝５（ＮＧ），６ｐ−１＝５（ＮＧ），８ｐ＋１＝５（ＮＧ）

→ｐ＝２，５

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