奇数乗の場合を補足しておきたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］ｘ^3＋１を因数分解した際，ｘ^3＝−１の３根をを求めた上で，共役なペアをまとめると考えます．

　　ｘ^3＝−１

　　ｘ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

　　３θ＝（２ｋ＋１）π

より

　　θ＝±π／３，±π

　ここで，共役なペアをまとめると，因数は

　　ｘ^2−（２ｃｏｓθ）ｘ＋１

つまり

　　１＝２ｃｏｓπ／３

　　ｘ^3＋１＝（ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）

というわけです．

　∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）＝ａｒｃｔａｎｘを知っていると，これで，

　　∫dx/(x^3+1)

は，何とか正解にたどり着けるでしょう．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］同様に，ｘ^5＋１の因数分解では

　　ｘ^5＝−１

　　ｘ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

　　５θ＝（２ｋ＋１）π

より

　　θ＝±π／５，±３π／５，±π

　ここで，共役なペアをまとめると，因数は

　　ｘ^2−（２ｃｏｓθ）ｘ＋１

つまり

　　（１＋√５）／２＝２ｃｏｓπ／５

　　（１−√５）／２＝２ｃｏｓ３π／５

　　ｘ^5＋１＝（ｘ＋１）（ｘ^4−ｘ^3＋ｘ^2−ｘ＋１）

＝（ｘ＋１）｛（ｘ^2＋１）^2−ｘ^3−ｘ^2−ｘ）

＝（ｘ＋１）（ｘ^2−（１＋√５）／２ｘ＋１）（ｘ^2−（１−√５）／２ｘ＋１）

というわけです．

　∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）＝ａｒｃｔａｎｘを知っていると，これで，

　　∫dx/(x^5+1)

は，何とか正解にたどり着けるでしょう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝