（その２）では平方和というよりも立方和を扱ったが，今回は平方和の戻りたい．

　３平方和問題

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）＝ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2

は２平方和，４平方和の場合のようなわけにはいきません．３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからです．

　しかし，

　　（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2）＝ｕ^2＋ｕｖ＋ｖ2

を示すことはできます．

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［証］１の３乗根をωとする．

　　１＋ω＋ω^2＝０

ａ^2＋ａｂ＋ｂ2＝（ａ−ｂω）（ａ−ｂω^2）

ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ2＝（ｘ−ｙω）（ｘ−ｙω^2）

ｕ＝ａｘ−ｂｙ，

ｖ＝ａｙ＋ｂｘ＋ｂｙ，

とおくと

　　（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2）＝ｕ^2＋ｕｖ＋ｖ2

が成り立つ．

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