■トーラス面上の円(その3)

 やっと間違いを発見.原点を中心とする円になると勘違いしていたのである.

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 (その1)の計算は正しく,θ=αのとき,

  cos^2θ=(r1^2−r0^2)/r1^2

  (X^2+Y^2)^2−2(r1^2−r0^2)X^2−2(r1^2+r0^2)Y^2+(r1^2−r0^2)^2=0

となる.

 これを整理すると

  (X^2−r1^2)^2+2(Y^2+r0^2)(X^2−r1^2)+(Y^2+r0^2)^2=0

  {(X^2−r1^2)+(Y+r0)^2}{(X^2−r1^2)+(Y−r0)^2}=0

 これより,2円

  X^2+(Y+r0)^2=r1^2

  X^2+(Y−r0)^2=r1^2

が得られる.これらは(0,±r0)を中心とする半径r1の双子の円である.

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[結論]

 トーラスを原点を通る平面で切断する.傾き0のとき赤道(円),傾き∞のとき経線(2つに分かれたペアの円),傾きsinα=r0/r1のとき,双子の円(ヴィラソーの円),これらの間は4次曲線になる.

 カッシーニ(1625-1712)は偉大な天文学者であったが,ヴィラソー(1813-1883)も19世紀の天文学者.

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