トーラス面

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

　　ｒ0：パイプの半径，ｒ1：輪の半径

の経線と緯線は円です．もちろん，赤道も円ですが，その他にも円が存在するそうです．

　気づきにくいことですが，原点を通り，ｘｙ平面となす角度が

　　ｓｉｎα＝ｒ0／ｒ1

の平面による切り口も円（ヴィラソーの円）になります．この平面はドーナツ面の内側をかすめるように通ります．

　素朴な疑問ですが，赤道（傾き０）とヴィラソーの円（傾きｓｉｎα＝ｒ0／ｒ1）の間はどうなっているのでしょうか？

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　　ｚ＝ｍｘ　　（ｍ＝０〜ｔａｎα）

を代入すると

　　（１＋ｍ^2）ｘ^2＋ｙ^2−２ｒ1（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2＋ｒ1^2−ｒ0^2＝０

　　（１＋ｍ^2）ｘ^2＋ｙ^2＋ｒ1^2−ｒ0^2＝２ｒ1（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2

　　｛（１＋ｍ^2）ｘ^2＋ｙ^2＋ｒ1^2−ｒ0^2｝^2＝４ｒ1^2（ｘ^2＋ｙ^2）

となって，あとが面倒である．

　同じことであるが，ｘｙ平面を回転させてみると，

　　［ｘ］＝［　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ］［Ｘ］

　　［ｚ］　［−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］［Ｚ］

　　ｘ＝Ｘｃｏｓθ＋Ｚｓｉｎθ

　　ｚ＝−Ｘｓｉｎθ＋Ｚｃｏｓθ，Ｚ＝０

　　｛（Ｘ^2ｃｏｓ^2θ＋Ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋Ｘ^2ｓｉｎ^2θ＝ｒ0^2

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）−２ｒ1（Ｘ^2ｃｏｓ^2θ＋Ｙ^2）^1/2＋ｒ1^2−ｒ0^2＝０

　　｛（Ｘ^2＋Ｙ^2）＋ｒ1^2−ｒ0^2｝^2＝４ｒ1^2（Ｘ^2ｃｏｓ^2θ＋Ｙ^2）

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2）（Ｘ^2＋Ｙ^2）＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝４ｒ1^2（Ｘ^2ｃｏｓ^2θ＋Ｙ^2）

となって，これは４次曲線である．

　ここで，θ＝αとおくと

　　ｃｏｓ^2θ＝（ｒ1^2−ｒ0^2）／ｒ1^2

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2）Ｘ^2−２（ｒ1^2＋ｒ0^2）Ｙ^2＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝０

　本当に円になるのだろうか？　次回の宿題としたい．

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［補］ペルセウスの円環曲線

　円環曲線はギリシャ人によって知られていたのですが，この研究を最初にしたのはペルセウスです（ペルセウスの円環曲線）．１７世紀に再発見されました．２次の多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０すなわち楕円，放物線，双曲線が円錐を平面で切断したときの切り口として現れたように，カッシーニ曲線（４次の多項式）はトーラス（ドーナツ）の平面による切断面として現れることが知られています．４種類に移り変わるのですが，４種類とは凸卵形，つぶれた卵形（変曲点をもつ繭形），８の字型（レムニスケート），２つに分かれたペアの卵形です．

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