辺の長さが黄金比の二等辺三角形は「黄金三角形」と呼ばれる．この黄金二等辺三角形には底辺が側辺の１／τ倍の短いもの（頂角がπ／５）と底辺がτ倍の長いもの（底角がπ／５）の２種類ある．正五角形も黄金二等辺三角形に分割できるので，２種類の黄金二等辺三角形の非周期的配列によって平面を隙間なく埋め尽くすことができることになる．

　また，黄金二等辺三角形の底辺を合わせると細い菱形と太った菱形ができるが，この菱形は辺の長さと対角線の長さが黄金比の関係になっていて，ペンローズパターンの基本の菱形として重要なものである．ペンローズの非周期的パターンは２種類の菱形（１０８°＋７２°，１４４°＋３６°）の組み合わせである．

　正多角形は，二等辺の長さのすべて等しい二等辺三角形の集合により分割される．また，この二等辺三角形の集合は非周期的に平面を充填することができる．

　たとえば，正七角形の場合，θ＝π／７から導かれた３種類の二等辺三角形形Ｓ1（θ，３θ，３θ），Ｓ2（３θ，２θ，２θ），Ｓ3（５θ，θ，θ）を使うとよいことがわかる．

　正七角形Ｐ1のひとつの頂点から対角線を引くと正七角形は三角形分割される．　　Ｐ1＝Ｔ1＋２Ｔ2＋２Ｔ3

これらの三角形はさらに二等辺三角形分割される．

　　Ｔ1＝Ｓ1＋Ｓ2＋Ｓ3

　　Ｔ2＝Ｓ1＋Ｓ3

　　Ｔ3＝Ｓ3

こうして，

　　Ｐ1＝Ｓ1＋３Ｓ2＋５Ｓ3

　正七角形をｋ倍に拡大すると

　　Ｐk＝ｋ^2（Ｓ1＋３Ｓ2＋５Ｓ3）

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【１】正五角形の場合

　正五角形の場合，θ＝π／５から導かれた２種類の二等辺三角形形Ｓ1（θ，２θ，２θ），Ｓ2（３θ，θ，θ）を使うとよいことがわかる．

　正五角形Ｐ1のひとつの頂点から対角線を引くと正七角形は三角形分割される．　　Ｐ1＝Ｔ1＋２Ｔ2

これらの三角形はさらに二等辺三角形分割される．

　　Ｔ1＝Ｓ1＋Ｓ2

　　Ｔ2＝Ｓ2

こうして，

　　Ｐ1＝Ｓ1＋３Ｓ2

　凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れるが，矢＝２Ｓ2，凧＝２Ｓ1＋２Ｓ2として作ることができる．

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【２】正九角形の場合

　正九角形の場合，θ＝π／９から導かれた４種類の二等辺三角形形Ｓ1（θ，４θ，４θ），Ｓ2（３θ，３θ，３θ），Ｓ3（５θ，２θ，２θ），Ｓ4（７θ，θ，θ）を使うとよいことがわかる．

　　Ｐ1＝Ｓ1＋３Ｓ2＋５Ｓ3＋７Ｓ4

と分割される．

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【３】正奇数（２ｍ＋１）角形の場合

　ｍ種類の二等辺三角形を使って

　　Ｐ1＝Ｓ1＋３Ｓ2＋５Ｓ3＋７Ｓ4＋・・・＋（２ｍ−１）Ｓm

と分割される．

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【４】正偶数（２ｍ）角形の場合

　正偶数角形の菱形分割では，

　　（２π／ｎ−（１−２／ｎ）π，４π／ｎ−（１−４／ｎ）π，・・・）

［１］ｎ＝６のとき，（π／３−２π／３）

［２］ｎ＝８のとき，（π／４−３π／４），（π／２−π／２）

［３］ｎ＝１０のとき，（π／５−４π／５），（２π／５−３π／５）

［４］ｎ＝１２のとき，（π／６−５π／６），（π／３−２π／３），（π／２−π／２）

　菱形を二等辺三角形に分割するには２通りあるから

［１］ｎ＝６（ｍ＝３）のとき，（π／６，π／６，２π／３），（π／３，π／３，π／３）の２通り

［２］ｎ＝８（ｍ＝４）のとき，（π／８，π／８，３π／４），（π／４，３π／８，３π／８）（π／４，π／４，π／２）の３通り

［３］ｎ＝１０（ｍ＝５）のとき，（π／１０，π／１０，４π／５），（π／５，２π／５，２π／５），（π／５，π／５，３π／５），（２π／５，３／１０，３π／１０）の４通り

［４］ｎ＝１２（ｍ＝６）のとき，（π／１２，π／１２，５π／６），（π／６，５π／１２，５π／１２），（π／６，π／６，２π／３），（π／３，π／３，π／３），（π／４，π／４，π／２）の５通り

　ｍ−１種類の二等辺三角形を使って分割されることがわかる．

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