ここでは，平面上の閉曲線Ｃと平行な直線族との交点によって定まる線分の中点の軌跡は直線（線分である）という幾何学的性質を考える．円がこの性質をもつことは明らかであるが，この性質をもつための必要十分条件は楕円であることである．この性質は空間に一般化できて・・・

　空間内の閉曲面Ｃと平行な直線族との交点によって定まる線分の中点が同一平面上にあるという幾何学的性質を考える．球面がこの性質をもつことは明らかであるが，この性質をもつための必要十分条件は楕円面であることである．

　それでは，この性質は他の２次曲線に一般化できるだろうか？

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　楕円をｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１，直線をｙ＝ｍｘ＋ｋとする．代入してｙを消去すると

　　（ｂ^2＋ａ^2ｍ^2）ｘ^2＋２ｍａ^2ｋｘ＋ａ^2ｋ^2−ａ^2ｂ^2＝０

　交点の座標を（ｘ1，ｙ1），（ｘ2，ｙ2）とすると，

　　ｘ1＋ｘ2＝−２ｍａ^2ｋ／（ｂ^2＋ａ^2ｍ^2）

　　ｙ1＋ｙ2＝ｍ（ｘ1＋ｘ2）＋２ｋ＝２ｋｂ^2／（ｂ^2＋ａ^2ｍ^2）

　したがって，中点の座標（Ｘ，Ｙ）＝（（ｘ1＋ｘ2）／２，（ｙ1＋ｙ2）／２）は

　　Ｙ＝−ｂ^2／ｍａ^2Ｘ

を満たす．これはｋの値によらないから中点の座標（Ｘ，Ｙ）は直線上にある．

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　双曲線をｘ^2／ａ^2−ｙ^2／ｂ^2＝１，直線をｙ＝ｍｘ＋ｋとする．代入してｙを消去すると

　　（ｂ^2−ａ^2ｍ^2）ｘ^2−２ｍａ^2ｋｘ−ａ^2ｋ^2−ａ^2ｂ^2＝０

　交点の座標を（ｘ1，ｙ1），（ｘ2，ｙ2）とすると，

　　ｘ1＋ｘ2＝２ｍａ^2ｋ／（ｂ^2−ａ^2ｍ^2）

　　ｙ1＋ｙ2＝ｍ（ｘ1＋ｘ2）＋２ｋ＝２ｋｂ^2／（ｂ^2−ａ^2ｍ^2）

　したがって，中点の座標（Ｘ，Ｙ）＝（（ｘ1＋ｘ2）／２，（ｙ1＋ｙ2）／２）は

　　Ｙ＝ｂ^2／ｍａ^2Ｘ

を満たす．これはｋの値によらないから中点の座標（Ｘ，Ｙ）は直線上にある．

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　放物線をｙ^2＝４ｐｘ，直線をｙ＝ｍｘ＋ｋとする．代入してｙを消去すると

　　ｍ^2ｘ^2＋（２ｍｋ−４ｐ）ｘ＋ｋ^2＝０

　交点の座標を（ｘ1，ｙ1），（ｘ2，ｙ2）とすると，

　　ｘ1＋ｘ2＝−（２ｍｋ−４ｐ）／ｍ^2

　　ｙ1＋ｙ2＝ｍ（ｘ1＋ｘ2）＋２ｋ＝４ｐ／ｍ

　これから，ｋを消去することはできない．したがって，中点の座標（Ｘ，Ｙ）＝（（ｘ1＋ｘ2）／２，（ｙ1＋ｙ2）／２）は直線上にない．

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