点Ｑの座標が等差数列をなす切頂切稜正軸体：３^n−１−２^(n-1)ｎ胞体についての補遺である．

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　正軸体系の（１，・・・，１，０）の座標は，

　　（０，±１，±２，・・・，±ｎ−１）

の置換２^n-1・ｎ！個である．たとえば，ｎ＝４の場合，

　　（０，±１，±２，，±３）→１９２個

単純多面体で辺数はｎ／２・２^n-1・ｎ！，ファセット数は３^n−１−２^(n-1)ｎとなる．

　それに対して，置換多面体とは，正単体系の（１，・・・１，１）で，その座標は（ｎ＋１）！，単純多面体で辺数はｎ／２・（ｎ＋１）！，ファセット数は２（２^n−１）である．

　正軸体系の（１，・・・，１，０）は置換多面体としばしば誤解されるが，平行多面体とも混同されているようだ．

ｎ　　　３^n−１−２^(n-1)ｎ　　　２（２^n−１）

２　　　　　　４　　　　　　　　　　　　６

３　　　　　１４　　　　　　　　　　　１４

４　　　　　４８　　　　　　　　　　　３０

５　　　　１５２　　　　　　　　　　　６２

６　　　　５３６　　　　　　　　　　１２６

であって，正軸体系の（１，・・・，１，０）は２次元・３次元では空間充填図形であるが，４次元以上ではそうはならない．それではなぜ空間充填図形と誤解されるのか？

　正軸体系の（０，・・・，０，１）は超立方体，すなわち，空間充填図形である．正軸体系の（１，・・・，１，０）は超立方対の双対ではないが，オンオフの立場が入れ替わったものだから・・・と考えられたのだと思われる．

　実際，超立方体とこの図形に共通の性質として，頂点が整数座標であることがあげられるし，超立方体とこの図形を組にすると空間充填図形を構成することができるかもしれないのである．

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