ミンコフスキーの定理を拡張する方向としては，ひとつには

［１］平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる５種類の平行多面体（フェドロフの平行多面体）はよく知られているが，ｎ次元平行多面体にはどれだけの種類があるか？

もうひとつには

［２］頂点は何組，辺は何組，ｋ次元面は何組あるだろうか？　あるいは，面の形はどうなるのだろうか？

になる．

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【１】後者のその後

　ミンコフスキーが原始的平行多面体として取り上げた２（２^n−１）胞体である．とくに，primitive,principal,maximalの条件を満たすものは置換多面体（permutahedron）と同値であって，多面体的組み合わせ論の重要な研究対象となってきた．にも関わらず，その面数公式は先人達の挑戦を退けてきた難題となった．さらにその後の進展はなく，数学者にも忘れられた問題になってしまったのである．

　しかし，これらの多面体がとんでもない性質をもつ（再帰的な構造を有している）ことに気づけば，急転直下，先人達も苦心した難題も難なく構成可能となるのである．

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【２】平行多面体と結晶群

　世の中には無限多くの形があるが，話を単純にするためにここでは「結晶」に限定しよう．結晶は２３０種類あることが知られている．空間での等長変換は平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．

　２３０種類にせよ２１９種類にせよ，これでもかなりの数だが，少し目線を引いて結晶格子を遠くからみてみよう．じっと眺めていると面白い事実に気づく．いつも特定の形の凸多面体が現れるのである．ここで現れる結晶格子に対応する本質的な配置はディリクレ領域と呼ばれるものであるが，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる形（フェドロフの平行多面体）になっている．

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　３次元結晶は２３０種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．これでもかなりの数だが，これは細分類であって，大分類するために少し目線を引いて結晶格子を遠くからみてみると，わずか５種類に集約することにに気づく．これらが平行多面体であって，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる形になっている．

　平行多面体は結晶格子の集約型といってもよいのであるが，高次元の場合はどうなってだろう．

［１］平行多面体

　２次元の平行多面体は２種類（原始的１），３次元の平行多面体は５種類（原始的１）あるが，４次元の平行多面体は３次元の５種類から５２種類（原始的３）へと急増する．

　また，５次元の場合には，１０３９９１種類と膨大で，原始的なものだけでも２２２種類見つかっている．５次元での平行多面体の状況ははるかに多様となって，そのリストアップはいまでも完成していない．急速に複雑さが増していくのである．

［２］結晶群

　２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在する．

　３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）

　４次元の結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在する．

　５次元の場合は正確に何種類あるのかわかっていない．

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次元　　　　　結晶群　　　　　　　　平行多面体（原始的平行多面体）

２　　　　　　１７　　　　　　　　　　　　　２（１）

３　　　　２１９（２３０）　　　　　　　　　５（１）

４　　　４７８３（４８９５）　　　　　　　５２（３）

５　　　　　　　？　　　　　　　　　　　１０３９９１（２２２）

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