（その７）で「平面を４直線で分割すると，１１個の領域ができる」ことを述べたが，この問題は高校の数学でよく取り上げられる問題である．

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【１】平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

　分割される領域数が最大になるためには，新しい線を引くとき，それ以前のすべての線と新しい交点で交わるようにします．既存の交点を通ると分割される領域が最大数にならないからです．

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７

はすぐに求められます．

　　Ｓ0＝１　　（全平面）

　　Ｓ1＝２＝Ｓ0＋１　　（平面は半平面に２分割される）

　　Ｓ2＝４＝Ｓ1＋２

　　Ｓ3＝７＝Ｓ2＋３

　このことからｎ本目の線を引くと新しい領域がｎ個増えることがわかります．これを式で表すと

　　Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ

　　Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ

　　Ｓn-1＝Ｓn-2＋ｎ−１

　　・・・・・・・・・・

　　Ｓ1＝Ｓ0＋１

　　Ｓ0＝１

を辺々加えると，一般式

　　Ｓn＝１＋（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）＝１＋ｎ（ｎ＋１）／２

　　　 ＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

が得られます．

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，

　　Ｓ4＝１１，Ｓ5＝１６，Ｓ6＝２２，・・・

と続くというわけです．

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【２】平面分割の二項係数表現

　　Ｓn＝１＋ｎ（ｎ＋１）／２＝１＋（ｎ＋１，２）

としたくなりますが，さらに

　　１＝（ｎ，０）

　　（ｎ＋１，２）＝（ｎ，１）＋（ｎ，２）

ですから，

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）

が得られます．

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【３】空間分割の二項係数表現

（問）直線をｎ個の点で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）

（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，

　　Ｓ4＝１１，Ｓ5＝１６，Ｓ6＝２２，Ｓ7＝２９，

　　Ｓ8＝３７，Ｓ9＝４６，Ｓ10＝５６，・・・

（問）空間をｎ枚の平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＝（ｎ3＋５ｎ＋６）／６

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，

　　Ｓ4＝１５，Ｓ5＝２６，Ｓ6＝４２，Ｓ7＝６４，

　　Ｓ8＝９３，Ｓ9＝１３０，Ｓ10＝１７６，・・・

　一般に，

（問）ｍ次元空間をｎ枚の超平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＋・・・＋（ｎ，ｍ）

となるが，これらの問題は二項係数で表現するときれいなパターンになる．

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（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

　実はこの問題は

（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか

と等価になる．

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

（問）１つの球をｎ個の面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数はいくつになるか？

　この問題も

（問）空間をｎ枚の平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか

に等価で，答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＝（ｎ3＋５ｎ＋６）／６

　新しくナイフを入れて増加する３次元領域の数は，新しい平面上にそれがそれまでの平面と交わってできる２次元領域の数に等しいからである．

　立方体にナイフを６回入れる場合は２７個の小さい立方体を作ることができるが，形にこだわらなければ最大４２個の断片にできるというわけである．

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