【１】パスカルの定理

　パスカルの定理とは，「円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．」というもので，この定理の重要な系が「円錐曲線は任意の５点で一意に定まる」です．

　パスカルはこの有名な定理をわずか１７才の時に発見したのですが，これは射影幾何学の基本定理の一つになっています．射影幾何学とは，長さや角の大きさに無関係に，例えば，いくつかの点がある直線上にあるといった関係，射影によって不変な図形の性質，を研究する学問で，射影平面上では，円錐曲線はただ１種類しかなく，双曲線・放物線・楕円などの区別はなく，どれも同種の曲線となります．

　また，射影平面上では点という語と直線という語を入れ替えても定理は成り立っています．これをポンスレーの双対原理と呼び，射影幾何学の最も美しい特質です．パスカルの定理から１５０年以上たって，その双対（円錐曲線の外接する６辺形の対角線は１点で交わる）が発見されたのですが，それがブリアンションの定理です．

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【２】２次曲線束

　一直線上にない３点を通る２次曲線，３点を通る３次曲線はただひとつ存在しますが，それは座標軸の方向が定まっている場合であって，一般には，平面上の任意の位置にある５点が唯一の円錐曲線を決定します．ニュートンは「プリンキピア」のなかで５点を通る円錐曲線の作図法などを案出しながら壮大な天体力学を展開しています．

　与えられた５点を通る２次曲線は１つだけであり，与えられた５直線に接する２次曲線も１つだけですが，与えられた４直線に接する２次曲線は無限にあります．

　平面を４直線で分割すると１１個の領域ができますが，５個の領域だけが４直線に接する２次曲線を含むことができます．放物線を含むことのできるのは１領域だけで，そこは楕円と放物線も含むことができます．真ん中の１つだけある４角形領域は楕円しか含まれません．

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