数学の世界には，ごく稀ですが，４次元や高次元の世界をイメージできる人がいます．たとえば，ペトリーは子供の頃から数学に対する異常な能力を示し，４次元図形を直観的に見ることができたといわれています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　（その１）に掲げた

［定理］楕円面上の測地線の接線は，楕円面と共焦点な別の２次曲面に接する（シャール・ヤコビの定理）

［定理］楕円内部のビリヤードの軌跡は，ある共焦点族に属する円錐曲線に接し続ける（楕円ビリヤード定理）

［定理］３次元ビリヤードにおいても，楕円ビリヤード定理に相当する定理が成り立ち，ビリヤードの軌跡は２つの異なる２次曲面に接することになる（シャールの定理）

などの定理は高次元の場合にも類似の結果か成り立ちます．

　たとえば，

［定理］ｎ次元空間の楕円面上の測地線の接線は，それと共焦点なｎ−２個の別の２次超曲面に接する

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝