【１】ペトリー面

　正多面体の点心図，辺心図，面心図をみると，その中に正射影として輪郭が正多角形に見える方向があります．たとえば，正四面体の４つの頂点は同一平面上にありませんが，辺心図をみると輪郭は正方形に見えます．

　　立方体　→　点心図が正六角形に見える

　　正四面体　→　辺心図が正方形に見える

　　正八面体　→　面心図が正六角形に見える

　　正十二面体　→　面心図が正十角形に見える

　　正二十面体　→　点心図が正十角形に見える

　これらの正射影では，もとの正多角形の中点をうまく結んだ正多角形ができます．この正多角形をペトリー多角形，この面をペトリー面（赤道面）といいます．

　正四面体の場合，互いにねじれの位置にある稜に平行な平面によって切断したものであり，立方体の場合は対角線に垂直な平面で切断したものである．

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【２】正多面体の閉測地線

　正八面体の１辺の長さを１として，正八面体には自己交差しない閉測地線が２本ある．

［１］正八面体のペトリー面（正六角形）：周長は３

［２］非平面的な閉測地線：周長は２√３

　立方体の１辺の長さを１として，立方体には自己交差しない閉測地線が３本ある．

［１］正立方体のペトリー面（正六角形）：周長は３√２

［２］平面的な正方形：周長は４

［３］非平面的な閉測地線：周長は２√５

　正２０面体の１辺の長さを１として，正２０面体には自己交差しない閉測地線が３本ある．

［１］正２０面体のペトリー面（正十角形）：周長は５

［２］非平面的な閉測地線：周長は３√３

［３］非平面的な閉測地線：周長は２√７

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【３】閉曲面の閉測地線

　一般の凸な多面体上には単純な閉測地線は存在しないが，あらゆる滑らかで凸な閉曲面には単純閉測地線が３本ある．これはポアンカレによって予想され，１９３０年にリュステルニクとシュニレルマンによって証明された．楕円面の場合，３枚の対称面と楕円面との交わりである．

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