これまで，３つの重要なクラスとして

［１］空間充填２^n＋２ｎ胞体

［２］空間充填２（２^n−１）胞体

［３］３^n−１胞体

を取り上げたが，重要でないクラスとして，点Ｑの座標が等差数列をなす切頂切稜正軸体

［４］３^n−１−２^(n-1)ｎ胞体

［５］複雑多面体

について再考してみたい．

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［４］３^n−１−２^(n-1)ｎ胞体

　正軸体系の（１，・・・，１，０）の座標は，

　　（０，±１，±２，・・・，±ｎ−１）

の置換２^n-1・ｎ！個である．たとえば，ｎ＝４の場合，

　　（０，±１，±２，，±３）→１９２個

単純多面体で辺数はｎ／２・２^n-1・ｎ！，ファセット数は３^n−１−２^(n-1)ｎとなる．

　それに対して，置換多面体とは，正単体系の（１，・・・１，１）で，その座標は（ｎ＋１）！，単純多面体で辺数はｎ／２・（ｎ＋１）！，ファセット数は２（２^n−１）である．

　正軸体系の（１，・・・，１，０）は置換多面体としばしば誤解されるが，平行多面体とも混同されているようだ．

ｎ　　　３^n−１−２^(n-1)ｎ　　　２（２^n−１）

２　　　　　　４　　　　　　　　　　　　６

３　　　　　１４　　　　　　　　　　　１４

４　　　　　４８　　　　　　　　　　　３０

５　　　　１５２　　　　　　　　　　　６２

６　　　　５３６　　　　　　　　　　１２６

であって，正軸体系の（１，・・・，１，０）は２次元・３次元では空間充填図形であるが，４次元以上ではそうはならない．

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［５］複雑多面体

　複雑多面体の形状ベクトルは，

［ａ］ｎが奇数のとき（ｎ＝２ｋ＋１）

　　［０，・・，０，１，０，・・，０］

［ｂ］ｎが偶数のとき（ｎ＝２ｋ）

　　［０，・・，０，１，０，０，・・，０］

で，後者は正軸体の基本単体の頂点Ｐn/2-1（超立方体の基本単体の頂点Ｐn/2）を通る超平面で切稜した図形，前者は正軸体の基本単体の頂点Ｐ(n-1)/2（超立方体の基本単体の頂点Ｐ(n-1)/2+1）を通る超平面で切稜した図形．

　切稜図形であるから，そのファセット数は

　　２^n＋２ｎ　　　　（正軸体系）

　　２（ｎ＋１）　　　（正単体系）

となる．一方，次数を求めてみると

［ａ］ｎが奇数のとき（ｎ＝２ｋ＋１）

　　　ｍ＝２ｋ（ｋ＋１）＝（ｎ^2−１）／２　　　　　　　　（正軸体系）

　　　ｍ＝ｋ（ｋ＋１）＋（ｋ＋１）＝（ｎ＋１）^2／４　　　（正単体系）

［ｂ］ｎが偶数のとき（ｎ＝２ｋ）

　　　ｍ＝２ｋ^2＝ｎ^2／２　　　　　　　　　　　　　　　　（正軸体系）

　　　ｍ＝ｋ^2＋ｋ＝ｎ（ｎ＋１）／４　　　　　　　　　　　（正単体系）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　空間充填２^n＋２ｎ胞体は

３次元の場合，形状ベクトル［１，１，０］：ｍ＝３

４次元の場合，形状ベクトル（０，１，０，０）：ｍ＝８

５次元の場合，形状ベクトル（０，１，１，０，０）：ｍ＝６

で，その形状ベクトルは

［ａ］ｎが奇数のとき（ｎ＝２ｋ＋１）

　　［０，・・，０，１，１，０，０，・・，０］

［ｂ］ｎが偶数のとき（ｎ＝２ｋ）

　　［０，・・，０，１，０，０，・・，０］

になる．

　後者は正軸体の基本単体の頂点Ｐn/2-1（超立方体の基本単体の頂点Ｐn/2）を通る超平面で切領した図形，前者は正軸体の基本単体の頂点Ｐ(n-1)/2とＰ(n+1)/2の間（超立方体の基本単体の頂点Ｐ(n-1)/2+1とＰ(n+1)/2+1の間）を通る超平面で切領した図形．

　その次数を求めてみると

［ａ］ｎが奇数のとき（ｎ＝２ｋ＋１）

　　　ｍ＝３ｋ＝３（ｎ−１）／２　　　　　　　　（正軸体系）

［ｂ］ｎが偶数のとき（ｎ＝２ｋ）

　　　ｍ＝２ｋ^2＝ｎ^2／２　　　　　　　　　　　（正軸体系）

　２（２^n−１）胞体と３^n−１胞体は単純多面体であるが，空間充填２^n＋２ｎ胞体は単純多面体の逆の「複雑多面体」になっているだろうか？→偶数次元の空間充填２^n＋２ｎ胞体は複雑多面体であるが，奇数次元では一般に複雑多面体にはならない．

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