ところで，ハルモスの概算公式は，ふたりが同じ誕生日である確率が５０％になるためには，ｃを定数として

　　ｃ＝（−２ｌｏｇ（０．５））^1/2〜１．１８

　　ｎ0＞ｃ×（３６５）^1/2

というものである．

　もし１年の長さが１／２だったら，二人の誕生日が同じになる確率が５０％を超えるためには，

　　ｎ＞ｃ×（３６５／２）^1/2＝ｎ0／√２

もし１年の長さが１／４だったら，二人の誕生日が同じになる確率が５０％を超えるためには，

　　ｎ＞ｃ×（３６５／４）^1/2＝ｎ0／２

となる．

　ｄ0＝３６５とする．ｄ＝４ｄ0，２ｄ0，ｄ0／２，ｄ0／４の場合を扱ってみたい．

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【Ｑ１】自分の誕生日のパーティーに大勢の人を招待することにする．自分の誕生日がそのうちのひとりと同じのなる確率が５０％を超えるには何人招けばよいか？

（Ａ１）ひとりの誕生日が自分の誕生日と同じにならない確率は（ｄ−１）／ｄ．ｎ人の客がいて，すべて自分の誕生日と同じにならない確率は（（ｄ−１）／ｄ）^n．

　自分の誕生日と同じ人がひとりはいる確率は

　　１−（（ｄ−１）／ｄ）^n＞０．５

より，

　　ｄ＝４ｄ0のとき，ｎ＞１０１２．

　　ｄ＝２ｄ0のとき，ｎ＞５０６．

　　ｄ＝ｄ0のとき，ｎ＞２５３．この数は３６５／２よりかなり大きい．

　　ｄ＝ｄ0／２のとき，ｎ＞１２７．

　　ｄ＝ｄ0／４のとき，ｎ＞６３．

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【Ｑ２】客の中のふたりが同じ誕生日になる確率が５０％を超えるには何人招けばよいか？

（Ａ２）このクイズは数多くの本で取り扱われた有名なものである．１番目の人と２番目の人が異なる誕生日である確率は１−１／ｄである．また，３番目の人が１番と２番の人と誕生日が異なる確率は，２番目の人は１番目の人と異なる日に生まれたとして，１−２／ｄである．

　したがって，ｎ人全員が異なる誕生日である確率ｐnは，

　　ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）

となる．求めたい確率ｐは少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率であるから，

　　ｐ＝１−ｐn＞０．５

より

　　ｄ＝４ｄ0のとき，ｎ＝４６．

　　ｄ＝２ｄ0とき，ｎ＝３３．

　　ｄ＝ｄ0のとき，ｎ＝２３．

　　ｄ＝ｄ0／２のとき，ｎ＝１７．

　　ｄ＝ｄ0／４のとき，ｎ＝１２．

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【３】ハルモスの概算公式との比較

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ハルモスの概算公式

　　ｄ＝４ｄ0のとき，　　　ｎ＝４６　　　　４５

　　ｄ＝２ｄ0のとき，　　　ｎ＝３３　　　　３２

　　ｄ＝ｄ0のとき，　　　　ｎ＝２３　　　　２３

　　ｄ＝ｄ0／２のとき，　　ｎ＝１７　　　　１６

　　ｄ＝ｄ0／４のとき，　　ｎ＝１２　　　　１２

　ハルモスの概算公式が十分正確であることがわかるだろう，

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