素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．同様に，調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること

　　１／１＋１／２＋１／３＋・・・＝∞

も容易に示すことができます．

　それでは，素数の逆数の和

　　Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・

は有限でしょうか？

（証明）

　調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示すると

　　Π（１−１／ｐ）^-1

と書けますから，

　　Π（１−１／ｐ）^-1〜∞．

　また，

　　ｌｏｇΠ（１−１／ｐ）＝Σｌｏｇ（１−１／ｐ）

１／ｐが非常に小さいとき，マクローリン展開より，

　　Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−Σ（１／ｐ）

ですから，

　　Σ（１／ｐ）＝∞

になります．したがって，すべての素数の逆数の和は発散することが示されます．

　１７３７年，オイラーは素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．このことから，素数が無限個あることはかんたんにわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．

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【１】オイラーのゼータ関数（１７３７年）

　１７３７年，オイラーは２つのゼータ関数を導入した．

［１］ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^-s）^-1

＝（１−２^-s）^-1・（１−３^-s）^-1・（１−５^-s）^-1・（１−７^-s）^-1・・・・

＝１＋２^-s＋３^-s＋４^-s＋５^-s＋・・・

［２］Ｌ（ｓ）＝Π（１−（−１）^(p-1)/2ｐ^-s）^-1

＝（１＋３^-s）^-1・（１−５^-s）^-1・（１＋７^-s）^-1・・・

＝１−３^-s＋５^-s＋７^-s−９^-s＋・・・

＝Σ（４ｎ＋１）^ｰs−Σ（４ｎ＋３）^ｰs

　オイラーはオイラー積の対数をとることによって

　　Σ（１／ｐ）＝∞

奇素数の逆数の交代和

　　Σ（−１）^(p-1)/2／ｐ＝１／３−１／５＋１／７−１／１１＋・・・→有限値に収束

することを証明した．

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