［１］ポンスレーの定理

　小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．

　ポンスレーの定理は円を楕円（２次曲線）に変えても成り立つ．その結果，以下の「楕円ビリヤード定理」が成立する．

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【１】楕円ビリヤード定理

　楕円内部のビリヤードの軌跡は，ある共焦点族に属する円錐曲線に接し続ける．

　より精密にいうと，ビリヤードの軌跡が線分Ｆ1Ｆ2交わらなければ，Ｆ1，Ｆ2を焦点とするある楕円，線分Ｆ1Ｆ2交われば，Ｆ1，Ｆ2を焦点とするある双曲線に接することになる．

　（±√（ａ^2−ｂ^2），０）を焦点とする共焦点族の方程式は，λをパラメータとして，

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）＋ｙ^2／（ｂ^2＋λ）＝１

で，楕円と双曲線を含む．

　（０，±√（ａ^2＋ｂ^2））を焦点とする共焦点族の方程式は，λをパラメータとして，

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）−ｙ^2／（λ−ｂ^2）＝１

で与えられる，楕円と双曲線を含む．

　同時に表したければ

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）＋ｙ^2／（ｂ^2±λ）＝１

とし，複号は楕円では＋，双曲線では−とする．楕円ではａ^2＋λ＞０，ｂ^2＋λ＞０，双曲線ではｂ^2−λ＜０でなければならない．

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【２】シャールの定理

　共焦点円錐曲線族を考える．点Ｐ（ｘ，ｙ）は直線Ｆ1Ｆ2上にないものとする．点Ｐを楕円と双曲線が通るとき，そのパラメータをλ1，λ2とするとき，

　　Ｐ（λ1，λ2）

を楕円座標と呼ぶ．このとき楕円と双曲線は互いに直交する．

　デカルト座標は楕円座標を使って

　　ｘ^2＝−（ａ^2＋λ1）（ａ^2＋λ2）／（ｂ^2−ａ^2），

　　ｙ^2＝−（ｂ^2＋λ1）（ｂ^2＋λ2）／（ｂ^2−ａ^2）

と表される．

　３次元においては，

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）＋ｙ^2／（ｂ^2＋λ）＋ｚ^2／（ｃ^2＋λ）＝１

で，楕円面と一葉双曲線と二葉双曲面を含む．

　　−ｃ^2＜λ＜−ｂ^2のとき，二葉双曲面

　　−ｂ^2＜λ＜−ａ^2のとき，一葉双曲面

　　−ａ^2＜λのとき，楕円面

これら３つの共焦点２次曲面は互いに直交する．

　３次元ビリヤードにおいても，楕円ビリヤード定理に相当する定理が成り立ち，ビリヤードの軌跡は２つの異なる２次曲面に接することになる．

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