【１】ドミノ問題の直観的証明

（Ｑ）隅とそのちょうど反対側の隅にあるマス目を切り取った８×８のチェス盤を３１個のドミノ（２マスサイズ）では覆いつくすことはできるだろうか？

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（Ａ）チェス盤を市松模様に塗ると３２の黒マス，３２の白マスができる．２つの向い側の白い角を取り除くと３２の黒，３０の白ができる．しかし１枚のドミノを置くとき，黒と白の正方形が１つずつ覆われるからどうしても２つの黒い正方形が残ってしまう．

　このように隅を切り取られたチェスボードでは白か黒どちらかのマス目が多くなるため，ドミノでは覆いつくすことができないのである．

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【２】コンウェイのタイル貼り群を用いた証明

　このドミノタイルには２通りの異なる向きがあるが，その境界は

　　Ｗ1＝ｘ^2ｙｘ^-2ｙ^-1，Ｗ2＝ｘｙ^2ｘ^-1ｙ^-2

また，２隅のチェス盤は

　　Ｕ＝ｘ^7ｙ^7ｘ^-1ｙｘ^-7ｙ^-7ｘｙ^-1

　タイル貼りでできないことを示すには，Ｗ1＝Ｗ2＝ｅからＵ＝ｅを導けないことが示せればよい．そこで，

　　φ（ｘ）＝（２１３），φ（ｙ）＝（１３２）

とすると

　　φ（ｘ^2）＝（２１３）（２１３）＝（１２３）＝φ（ｅ）

　　φ（ｙ^2）＝（１３２）（１３２）＝（１２３）＝φ（ｅ）

　　φ（ｘ^-1）＝φ（ｘ）＝φ（ｘ^7）

　　φ（ｙ^-1）＝φ（ｙ）＝φ（ｙ^7）

　　φ（ｘｙ）＝（３１２），（３１２）^3＝（１２３）

　　φ（Ｕ）＝φ（ｘｙ）^4＝（３１２）^3（３１２）＝（３１２）

＝（１３２）

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【３】コンウェイのタイル貼り群を用いた証明（その２）

　□を三角形状に積み上げて次数ｎの三角文様を作る．

　次数　１　　２　　　　３　　　　　　４　　　　　　　　５

　　　　□　　□　　　　□　　　　　　□　　　　　　　　□

　　　　　　□　□　　□　□　　　　□　□　　　　　　□　□

　　　　　　　　　　□　□　□　　□　□　□　　　　□　□　□

　　　　　　　　　　　　　　　　□　□　□　□　　□　□　□　□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□　□　□　□　□

　あらゆるｎに対してｎ次の三角文様を３点棒□□□で覆いつくすことは不可能であることを示してみたい．

　次数　１　　２　　　　３　　　　　　４　　　　　　　　５

　　　　□　　□　　　　□　　　　　　□　　　　　　　　□

　　　　　　　□□　　　□□　　　　　□□　　　　　　　□□

　　　　　　　　　　　　□□□　　　　□□□　　　　　　□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□　　　　　□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□□

と階段状に並べ替える．

　３点棒タイルには３通りの異なる向きがあるが，その境界は

　　Ｗ1＝ｘ^3ｙｘ^-3ｙ^-1，Ｗ2＝ｘｙ^3ｘ^-1ｙ^-3，Ｗ3＝（ｙｘ^-1）^3（ｙ^-1ｘ）^3

また，三角文様は

　　Ｕn＝ｙ^-nｘ^n（ｙ^-1ｘ）^n

　あらゆるｎに対してタイル貼りでできないことを示すには，Ｗ1＝Ｗ2＝Ｗ3＝ｅからＵn＝ｅを導けないことが示せればよい．（省略）

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