□を三角形状に積み上げて次数ｎの三角文様を作る．

　次数　１　　２　　　　３　　　　　　４　　　　　　　　５

　　　　□　　□　　　　□　　　　　　□　　　　　　　　□

　　　　　　□　□　　□　□　　　　□　□　　　　　　□　□

　　　　　　　　　　□　□　□　　□　□　□　　　　□　□　□

　　　　　　　　　　　　　　　　□　□　□　□　　□　□　□　□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□　□　□　□　□

（問）ｎ次の三角文様を３点棒□□□で覆いつくすことができるか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（Ａ）ます，３角形の点の数ｎ（ｎ＋１）／２が３の倍数でなければならないから，

　　ｎ＝０または２　　（ｍｏｄ３）

　三角文様の３ｋ行に０，３ｋ＋１行に１，３ｋ＋２行に２をラベルする．このタイルには３通りの異なる向きがあるが，どのように置いても，タイル上の数の和は３の倍数となる．一方，三角文様上の数の和は，ｍｏｄ３で考えると，ｎに関して周期的で，周期は９である．

　　０，２，２，２，１，１，１，０

したがって，

　　ｎ＝０または１または８　　（ｍｏｄ３）

、検討すべきなのは

　　ｎ＝０または８　　（ｍｏｄ９）

であるが，ｎ＝８　　（ｍｏｄ９）の場合が可能ならば，ｎ＝０　　（ｍｏｄ９）の場合も可能なので，

　　ｎ＝８

の場合が可能かどうかの帰着される．

　ところが，ｎ＝８の場合は不可能で，あらゆるｎに対してタイル貼り不可能であることが示される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（問）ｎ次の三角文様を３点三角形

　　□

　□　□で覆いつくすことができるか？

（答）ｎ＝０または２，９，１１　　（ｍｏｄ１２）

であることが必要十分条件である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝