口の字には四角形が１個ありますが，田の字には小さい四角形が４個と大きい四角形が１個で，合計５個の四角形があります．さらに，囲の字には小さい四角形が９個，中位の四角形が４個，大きい四角形が１個で，合計１４個の四角形があります．

　次数　１　　２　　　　３　　　　４　　　　　　５

　　　　□　　□□　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　□□　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□□

　さらに次数を増やすと，四角形の合計は

　　１→５→１４→３０→５５→・・・

と増えていくのですが，この数列が

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｎ^2＝１／６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）

で表されることは容易に理解されるでしょう．

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【１】ミツウロコの問題（三角形はいくつある？）

　ところで，息子・耕太郎（当時，小学１年生）の宿題に，ミツウロコ文様

　　　△

　　△▽△

が描かれていて，すべての三角形（下向きの三角形も含む）を数えると何個あるかという問題をみつけました．息子はミツウロコのことをトライフォースと呼んでおりました．４つの三角形という意味だと思われますが，多分，アニメ（漫画？）ではそう呼ばれていたのでしょう．ちなみに，息子の答えは，大きな三角形を数えもらしていたため，４個となっておりましたが，５個が正解です．

（問）△，▽を三角形状に積み上げて次数ｎのミツウロコ文様を作る．三角形はいくつ？

　次数　１　　２　　　　３　　　　　　４　　　　　　　　５

　　　　△　　△　　　　△　　　　　　△　　　　　　　　△

　　　　　　△▽△　　△▽△　　　　△▽△　　　　　　△▽△

　　　　　　　　　　△▽△▽△　　△▽△▽△　　　　△▽△▽△

　　　　　　　　　　　　　　　　△▽△▽△▽△　　△▽△▽△▽△

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△▽△▽△▽△▽△

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　基本三角形の個数は

　　１＋３＋５＋７＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

ですが，基本三角形を積み重ねてできる大三角形のなかにあるすべての正三角形の総数はという問題ですから，求める数は

　　１→５→１３→２７→４８→７８→１１８→・・・

と増えていきます．

　一般項はどのように表されるのでしょうか？　この問題には難しいことは何一つ出てきませんが，口，田，囲の場合と同じように考えようとするとなかなか一筋縄ではいかない問題であることがわかります．

　数え落としや重複など数え間違いのないように整理してから，階差をとるとその理由が見えてくるのですが，

　　　　　　１→５→１３→２７→４８→７８→１１８→・・・

　第１階差　　４→８　→１４→２１→３０→４０→・・・

　第２階差　　　４　→６　→７　→９　→１０→・・・

　第３階差　　　　　２　→１　→２　→１　→・・・

　第３階差では２と１が交互に繰り返しているので，この数列は１つの多項式で表せず，その答えも交互に２つの式で表されることになります．

　この規則性を用いて，ｎ＝８の正三角形の総数を予想すると１７０と求められます．

　　　　　　１→５→１３→２７→４８→７８→１１８→１７０→・・・

　第１階差　　４→８　→１４→２１→３０→４０→５２→・・・

　第２階差　　　４　→６　→７　→９　→１０→１２→・・・

　第３階差　　　　　２　→１　→２　→１　→２　→・・・

（答）

　　ｎが偶数のとき，１／８ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）

　　ｎが奇数のとき，１／８｛ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）−１｝

まとめると

　　１／８［ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）＋｛（−１）^n−１｝／２］

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