今回のコラムでは，これまで取り上げた幾何学の話題のなかから十分には説明しきれなかったものについて補足したいと思います．
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【１】パップスの定理
半径ａと半径ｂ（ｂ＜ａ）の同心円に挟まれた円環状部分の面積は
πａ^2−πｂ^2
で与えられるが，この図形は２次元の円に幅をもたせたものと考えることができる．
そこで，帯の幅（ａ−ｂ）に重心（原点からの距離：（ａ＋ｂ）／２）が描く円周長２π（ａ＋ｂ）／２を乗ずると
円周長×幅＝２π（ａ＋ｂ）／２×（ａ−ｂ）＝πａ^2−πｂ^2
となって同じ値が得られる．
半径ｂの円を３次元空間内で半径ａで回転させるとトーラスができるが，この場合にも
表面積＝円周長２πｂ×円周長２πａ＝４π^2ａｂ
体積＝断面積πｂ^2×円周長２πａ＝２π^2ａｂ^2
で表すことができる．すなわち，体積・表面積とも太さと長さの積で表せるというわけである．この問題の解答を自力で見つけて感動を覚え，それが次の興味に繋がったという経験をお持ちの読者も少なくないだろう．
（第１定理）回転体の体積は元になる図形の面積とその図形の重心が移動した距離の積になる．
（第２定理）表面積は図形の周となっている曲線の重心の移動距離とその図形の周長との積になる．
これらは円だけでなくあらゆる回転体について成り立つ回転体の体積と表面積に関する定理であり，４世紀前半に精力的に活動した数学者パップスにちなんで「パップスの定理」と呼ばれている．
（Ｑ１）三角形の重心は底辺から高さの１／３のところにあるが，それでは半円の重心はどこにあるのだろうか？
（Ａ１）パップスの第１定理を逆に使って求めてみよう．直径を軸として半円を回転させると球になる．アルキメデスによれば球の体積は
４／３πｒ^3
一方，パップスによればこの体積は半円の面積１／２πｒ^2と半円が回転したときの重心の移動距離２πｄの積に等しい（重心と円の中心との距離をｄとする）．したがって，
ｄ＝４ｒ／３π＝０．４２ｒ
（Ｑ２）半径ｒの半円形をした針金の重心は？
（Ａ２）パップスの第２定理より，重心の移動距離２πｄと半円の長さπｒの積は球の表面積４πｒ^2は等しくなる．したがって
ｄ＝２ｒ／π＝０．６４ｒ
これらの問題は積分を使っても解くことができる→コラム「ディリクレ積分とセルバーグ積分」参照．しかしそれよりもパップスの定理を使った方が簡単であろう．また，パップスの定理は円が曲線に沿って移動するような軌跡問題などにも応用することができる．
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【２】ヘロンの問題とアルハーゼンの問題
任意の三角形の面積Δを３辺の長さａ，ｂ，ｃ，によって表す公式
Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２
はヘロンの公式と呼ばれている．また，ヘロンの公式は
Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６
と書くこともできる．
ところで，
（Ｑ１）直線Ｌの同じ側にある２点Ｆ1，Ｆ2からの距離の和Ｆ1Ｐ＋ＰＦ2が最小になるようなＬ上の点Ｐを求めよ．
という問題を考えよう．
この問題は「ヘロンの問題」と呼ばれているが「町Ｆ1から町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」という実用価値のある問題であるし，反射光学の問題あるいはビリヤード問題とも考えることができる．
（Ａ１）答は簡単に求めることができる．点Ｆ2を直線Ｌに関して対称移動させＦ0とする．直線Ｆ1Ｆ0と直線Ｌの交点が最短距離となる折り返し点Ｐである．この最適な点Ｐには線分Ｆ1ＰとＦ2ＰがそれぞれＬとなす角が等しいという性質がある．
また，このことは三角形のフェルマー点Ｆが３つの頂点への距離の和を最小にすること，∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立つこととよく類似している．このフェルマー点は頂点と外正三角形の頂点を結ぶ直線の共点として得られる．すなわち，フェルマー点を見つけるには与えられた三角形の各辺の上に正三角形を立てて各頂点と結ぶと，これら３本の線は１点Ｆで交わる．また，フェルマー点は３つの正三角形の外接円の交点でもある．
ヘロンの問題のバリエーションとして「町Ｆ1から川の反対側にある町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄り，一定幅ｄの川を渡るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」などもよく見かける問題である．
ヘロンの問題に対して，「アルハーゼンの問題」とは
（Ｑ２）町Ｆ1から川の同じ側にある町Ｆ2に行くとき，「環状」の川岸Ｌの点Ｐに立ち寄るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよというものである．
（Ａ２）点Ｐが求められたとして点Ｐで円の接線を引き，点Ｆ2を接線に対して反対側に対称移動した点をＦ0とする．このとき，Ｆ1Ｐ＋ＰＦ0が直線になればよいので，∠Ｆ1ＰＦ2が点Ｐを通る円の直径で２等分されるとき最短距離になる．
しかし，点Ｐを解析幾何学的に求めようとすると４次方程式の解に帰着されるため，解はもし存在すれば４個あるいは２個，または解なしとなる．いずれにせよアルハーゼンの問題とヘロンの問題との違いはアルハーゼンの問題が（特殊な場合を除いて）定規とコンパスだけでは作図不可能な問題ということである．
なお，アルハーゼンの問題の拡張として「町Ｆ1から川の反対側にある町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄り，一定幅ｄの「環状」の川を渡るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」が考えられる．
また，円を他の円錐曲線に置き換えて一般化した問題ついては読者の演習問題とするが，楕円ではＦ1Ｐ＋Ｆ2Ｐ＝一定であり片方の焦点から出た光線は楕円上で反射して第２の焦点に向かうとか，双曲線ではＦ1Ｐ−Ｆ2Ｐ＝一定で片方の焦点から出た光線が表面にあたって反射するとあたかも第２の焦点から出たように反射するとか，放物線の焦点を出た光は曲線上で反射して曲線の対称軸に平行に進むという幾何光学的特徴はすでにご存知であろう．
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