［参］柴田正和「数列・関数列の無限級数」森北出版

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【３】条件収束する級数（続き）

　　（１−１）＋（１／２−１／２）＋（１／３−１／３）＋（１／４−１／４）＋・・・＝０ですが，項の順序を並べ替えてできる次の級数の和は？

［Ｑ１］（１＋１／２−１）＋（１／３＋１／４−１／２）＋（１／５＋１／６−１／３）＋・・・

［Ｑ２］（１＋１／２＋１／３−１）＋（１／４＋１／５＋１／６−１／２）＋（１／７＋１／８＋１／９−１／３）＋・・・

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［Ａ１］

　　Σ（１／（２ｋ−１）＋１／２ｋ−１／ｋ）

　＝Σ（１／（２ｋ−１）−１／２ｋ）

　＝１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

［Ａ２］ｌｏｇγ＝ｌｉｍ｛Σ１／ｋ−ｌｏｇｎ｝

　　ｌｉｍ｛（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／３ｋ）−（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｋ）｝

　＝ｌｉｍ｛（ｌｏｇ３ｋ＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｋ））−（ｌｏｇｋ＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｋ））｝

　＝ｌｏｇ３

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［補］オイラーの定数

　　Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義します．（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません．）

　ｎを無限大にしたとき，調和級数

　　Ｈ∞＝　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｎｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．

　したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります（∵∫１／ｘｄｘ＝ｌｏｇｘ）．

　したがって，Ｈn とｌｏｇｎの比｛Ｈn ／ｌｏｇｎ｝は

　　Ｈn ／ｌｏｇｎ→１　　　（ｎ→∞）

です．

　一方，Ｈn とｌｏｇｎの差｛Ｈn −ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．

　Ｈn −ｌｏｇｎ→γ　　　（ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ））

　　　　　　　　　　　　　（ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１））

　この極限値はオイラーの定数として知られており，約０．５７７２２になります．オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．

　Ｈn は上限と下限の間の約５８％のところにあることがわかりましたが，今日に至るまで，オイラーの定数の値は有理数とも無理数ともわかっていません．おそらく，超越数なのでしょう．

　また，オイラーの定数γを極限値ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｎｎ）を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です．そこで，

ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

ｌｏｇ（１＋１／ｘ）＝１／ｘ−１／（２ｘ^2）＋１／（３ｘ^3）−１／（４ｘ^4）＋・・・

より

ｌｏｇΓ（１＋ｓ）＝−γｓ＋ζ（２）／２ｓ^2−ζ（３）／３ｓ^3＋・・・

これを用いると

γ＝ζ（２）／２−ζ（３）／３＋ζ（４）／４−ζ（５）／５＋・・・

あるいは

γ＝１−１／２（ζ（２）−１）−１／３（ζ（３）−１）−１／４（ζ（４）−１）−・・・

などと書けることになります．これらの無限級数はかなり速く収束します．

　なお、素数の逆数の和Σ（１／ｐ）については

　　ｌｉｍ｛Σ（１／ｐ）−ｌｏｇｌｏｇｎ｝→０．２６１４９・・・

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