ｎ次元正単体，正軸体，蝶立方体のｋ次元胞の数を表す公式は古くから知られており，Coxeter, Regular Polytopesにも表がついています．

［１］ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができ，ｋ次元胞の数は（ｎ＋１，ｋ＋１）です．

［２］ｎ次元正軸体については，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝｛（１＋２ｘ）^n−１｝／ｘ

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１）です．

［３］ｎ次元超立方体はこの双対で，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝（２＋ｘ）^n

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）です．

　　Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２^n+1−２＝２（２^n−１）

となるわけですが，（ｎ＋１，ｋ＋１）の任意の項を加えて，２ｎ，２^nあるいは２^n＋２ｎに等しくすることはできるでしょうか？

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［１］ｎ＋１＝ｐのとき，n+1Ｃmはｐの倍数である

　両端n+1Ｃ0＝n+1Ｃn+1＝１ですから，両端以外のn+1Ｃm（１≦ｍ≦ｎ）について考えます．ｎ＋１＝ｐのとき

　　pＣm＝ｐ！／ｍ！（ｐ−ｍ）！

１≦ｍ≦ｐ−１，１≦ｐ−ｍ≦ｐ−１より，分母は素因数ｐを含んでいない．よって，pＣmはｐの倍数である．

［２］ｎ＋１＝２^kのとき，n+1Ｃmは偶数である

　　（ａ＋ｂ）^2＝ａ^2＋｛係数が偶数の項｝＋ｂ^2

　　｛（ａ＋ｂ）^2｝^2＝ａ^4＋｛係数が偶数の項｝＋ｂ^4

　　｛（ａ＋ｂ）^4｝^2＝ａ^8＋｛係数が偶数の項｝＋ｂ^8，・・・

数学的帰納法より，n+1Ｃmは偶数である

［３］ｎ＋１＝２^k−１のとき，n+1Ｃmは奇数である

　［２］より，n+2Ｃmは偶数である．

　　n+2Ｃm＝n+1Ｃm-1＋n+1Ｃm

　　１＋n+1Ｃ1＝偶数→n+1Ｃ1は奇数

　　n+1Ｃ1＋n+1Ｃ2＝偶数→n+1Ｃ2は奇数，・・・

よって，n+1Ｃmは奇数である．

　さらに，n+1Ｃmがすべては奇数になるのは，ｎ＋１＝２^k−１のときに限る．実際，他の行には偶数があるのですが，

［４］ｎ＋１＝２^kのとき，両端以外のn+1Ｃm，２^k−１個はすべて偶数である

［５］ｎ＋１＝２^k＋１のとき，真ん中のn+1Ｃm，２^k−２個はすべて偶数である

［６］ｎ＋１＝２^k＋２のとき，真ん中のn+1Ｃm，２^k−３個はすべて偶数である

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［７］ｎ＋１＝２^k+1−２＝２^k＋２^k−２のとき，真ん中のn+1Ｃm，２^k−（２^k−１）＝１個はすべて偶数である

［８］n+1Ｃmがすべては奇数になるのは，ｎ＋１＝２^k−１のときだけ

ということになります．

　さらに，n+1Ｃm（ｍ＝０〜ｎ＋１）がすべては奇数になるのは，ｎ＋１＝２^k−１のときに限る．さらに，ｋ＞１に対してn+1Ｃm（ｍ＝１〜ｎ）がｋで割り切れるための必要十分条件は，ｋが素数であって，ｎ＋１＝ｋ^mの形に書けるときに限る．

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