３次元と４次元で重複が存在する理由は，正四面体（正１６胞体）の辺の中点を結ぶと正八面体（正２４胞体）ができる．そのため，３次元の正四面体系と正八面体系，４次元の正１６胞体系と正２４胞体系の準正多胞体に重複が存在するが，ｎ（≧５）次元の正単体系と正軸体系の準正多胞体に重複はないと思われる．

　しかし，正単体の頂点数ｎ＋１とファセット数ｎ＋１の合計２（ｎ＋１）が正軸体の頂点数２ｎやファセット数２^nと一致しないからという理由では納得できない．これは切頂単体が，正軸体・立方体にならないということを主張しているのであって，準正多胞体まで含めると，正単体系の最大ファセット数は２（２^n−１）あり，一方，正軸体系の最小ファセット数は２^n＋２ｎあるから，オーバーラップしてしまうからである．

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　５次元以上の空間では重複例は知られていない．この性質が証明されているのがどうかは知らない．幾分経験則的であるかもしれないが，願望を込めてしっかり確立されたものとみなすことにしたいのであるが，証明は必要であろう．

　　ｎ次元正軸体：ｇo＝（ｎ，ｏ＋１）２^(o+1)

　　ｎ次元正単体：ｇs＝（ｎ＋１，ｓ＋１）

として，２系統の準正胞体の重複の有無について調べてみたい．

［１］頂点数が一致するとき，

　　ｆ0＝Ｇsｇs＝Ｇoｇo

であるから，

　　Ｇs（ｎ＋１，ｓ＋１）＝Ｇo（ｎ，ｏ＋１）２^(o+1)

　　ただし，ｓ＝［０，ｎ−１］，ｏ＝［０，ｎ−１］

［２］頂点数が一致するとき，辺数，したがって，次数ｍが等しくなること

　　ｍs／２・Ｇs（ｎ＋１，ｓ＋１）＝ｍo／２・Ｇo（ｎ，ｏ＋１）２^(o+1)

はあるだろうか？・・・という問題に帰着される．

　たとえば，ｎ≧４，ｏ≦ｓ−２のとき，矛盾を生ずるといった背理法になると思われる．

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　ｏ＝ｓ−２のとき，

　　Ｇs（ｎ＋１，ｓ＋１）＝Ｇo（ｎ，ｓ−１）２^(s-1)

　　Ｇs＝（ｓ＋１，ｉ＋１）（ｉ＋１，ｊ＋１）

　　Ｇo＝（ｏ＋１，ｉ’＋１）（ｉ’＋１，ｊ’＋１）

　　　　＝（ｓ−１，ｉ’＋１）（ｉ’＋１，ｊ’＋１）

とすると

　　Ｇs（ｎ＋１，ｓ＋１）＝（ｎ＋１）！／（ｎ−ｓ）！（ｓ−ｉ）！（ｉ−ｊ）！

　　Ｇo（ｎ，ｓ−１）２^(s-1)＝ｎ！２^(s-1)／（ｎ−ｓ＋１）！（ｓ−ｉ’−２）！（ｉ’−ｊ’）！

となって面倒である．

　そこで，Ｇkの最大値は（ｋ＋１）！，最小値はｋ＋１であるから，

　　０≦ｓ＋１≦Ｇs≦（ｓ＋１）！

　　０≦ｓ−１≦Ｇo≦（ｓ−１）！

　　（ｓ＋１）／（ｓ−１）！≦Ｇs／Ｇo≦（ｓ＋１）！／（ｓ−１）

　　Ｇs／Ｇo＝（ｎ，ｓ−１）２^(s-1)／（ｎ＋１，ｓ＋１）

　＝ｓ（ｓ＋１）２^(s-1)／（ｎ＋１）（ｎ＋１−ｓ）

［１］ｓ（ｓ＋１）２^(s-1)／（ｎ＋１）（ｎ＋１−ｓ）≧（ｓ＋１）／（ｓ−１）！

　　ｓ！２^(s-1)≧（ｎ＋１）（ｎ＋１−ｓ）

［２］ｓ（ｓ＋１）２^(s-1)／（ｎ＋１）（ｎ＋１−ｓ）≦（ｓ＋１）！／（ｓ−１）

　　２^(s-1)／（ｓ−２）！≦（ｎ＋１）（ｎ＋１−ｓ）

［３］０≦ｓ≦ｎ−１

　［１］をｎ＋１に関する２次式とみると

　　ｘ＝（ｓ±（ｓ^2＋４ｓ！２^(s-1)）^1/2）／２

　　ｎ＋１≦（ｓ＋（ｓ^2＋ｓ！２^(s+1)）^1/2）／２

　［２］をｎ＋１に関する２次式とみると

　　ｘ＝（ｓ±（ｓ^2＋２^(s+1)／（ｓ−２）！）^1/2）／２

　　ｎ＋１≧（ｓ＋（ｓ^2＋２^(s+1)／（ｓ−２）！）^1/2）／２

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