■マルコフ数の話(その2)

  {1,2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,・・・}

ここにはマルコフ・スべクトルの成分が可算無限個含まれている.

 この数列の一般項は

  x^2+y^2+z^2=3xyz

の正の整数解である.また,ラグランジュ・スペクトルは,正の整数解のうち,最も大きいものをmとした場合,

  x=√(9−4/m^2),√5≦x<3

となる.

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【1】マルコフ数

 3元2次のディオファントス方程式

  x^2+y^2+z^2=3xyz

のすべての解を求める問題は,たとえば3元3次の方程式x^3+y^3+z^3=x+y+zの場合とは違って,x,y,zの各変数に関して2次式になっているので1つの解の中の数を使って別の解を作ることができます.

 z=xy/2・{3±(9−4/x^2−4/y^2)^1/2}

であり,すべての解は特異解(1,1,1),(1,1,2)から生成されます.たとえば(x,y,z)=(1,1,1),(2,1,1),(5,1,2),(13,1,5),(29,5,2),・・・はひとつの整数解が次の解を導き,

  (x,y)=(1,1)→z=1,2

  (x,y)=(1,2)→z=1,5

  (x,y)=(1,5)→z=2,13

  (x,y)=(2,5)→z=1,29

 x≦y≦zとしても一般性は失われませんが,特異解(1,1,1),(1,1,2)以外のすべての解はx,y,zの値が相異なるます(x<y<z).

 こうして,2次のディオファントス方程式x^2+y^2+z^2=3xyzの解として現れる,

  1,2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,・・・

はマルコフ数と呼ばれます.

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[補]3元2次のディオファントス方程式

  x^2+y^2+z^2=3xyz

の解(x,y,z)=(1,1,1),(2,1,1),(5,1,2),(13,1,5),(29,5,2),・・・を並べると,各解は他の3つの解に相隣り合い,2分木のように配置する.真の2分木なのか,同じ値が2つの別のルートから生成されることがあり得るかは有名な未解決問題である.

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