■離散から連続へ(その2)

 有限フーリエ級数

  F(m)=Σ(k=0~m-1)exp(i(2π/m)k)

を幾何学的に解釈すると,原点から正m角形の頂点に向かって一様に放射状に出る長さ1のベクトルの和であるから,値は0になる.

 今回のコラムでは,ガウスが正n角形の研究中に出会った有限テータ関数

  G(m)=Σ(k=0~m-1)exp(−i(2π/m)k^2)

について考える.kが2乗されていることで,全方向の一様性がなくなってしまい,図形的にみることが難しくなる.

 この関数は長い間ガウスの心を占めていた数学の問題で,現在,ガウス和と呼ばれている.偉大なガウスでさえもG(m)の値を得るのに数年を要したといわれている.

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【1】ガウス和

 ガウスはこの問題を数論的な手法により1805年に解決したのであるが,その30年後の1835年,ディリクレがフーリエ級数を用いて簡潔な証明を生み出した.ガウス和は回折理論で有名なフレネル積分

  ∫(0,∞)sin(ax^2)dx=∫(0,∞)cos(ax^2)dx=1/2√(π/2a)

に帰着され,最終的な結論だけを述べると

  m=0(mod4) → G(m)=(1−i)√m

  m=1(mod4) → G(m)=√m

  m=2(mod4) → G(m)=0

  m=3(mod4) → G(m)=−i√m

 指数の符号をプラスにした

  H(m)=Σ(k=0~m-1)exp(i(2π/m)k^2)

はG(m)と複素共役だから,G(m)がわかればH(m)もわかる.

  m=0(mod4) → H(m)=(1+i)√m

  m=1(mod4) → H(m)=√m

  m=2(mod4) → H(m)=0

  m=3(mod4) → H(m)=i√m

 奇数のmに対して,

  |H(m)|^2=m

である.また,m=pqで置き換えると,

  H(pq)=(−1)^(p-1)(q-1)/4H(p)H(q)

 ガウス和は有限テータ関数として解釈することができるが,ヤコビのテータ関数は解析数論における数多くの深遠な問題と密接に結びついている.また,ガウス和は物理や通信における散乱,たとえば,コンサート・ホールの音響を弱めないで拡散させることなどに応用されているのである.

 ガウス和の指数を2乗和k^2に制限する理由はなく,k^nすなわちガウスの3乗和,4乗和,5乗和,6乗和,・・・と一般化することもできる.

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【2】不完全ガウス和

  H(m,k)=Σ(k=0~k)exp(i(2π/m)k^2)

と定義する.mを固定して,k=0,1,・・・,m−1と動かすときれいな絵が得られる.

 m=2(mod4)のとき,完全和は0になるから,不完全和H(m,k)は初めに2個の螺線を出たリ入ったりした後,原点に戻る.m→∞のとき,この螺線はコルニュの螺線(クロソイド)に近づく.m=3(mod4)の場合,不完全和H(m,k)は再び2個の螺線を出たリ入ったりするが,原点には戻らず,√mで立ち往生することになる.

 この様子は

  [参]ナーイン「オイラー博士の素敵な数式」日本評論社

に掲載されている調和散歩の問題

(Q)原点から実軸上を正の方向に1きたところで,反時計回りにθ回転し1/2進む.さらに再度θ回転し1/3進む.次はθ回転し1/4進む.これを繰り返す

を想起させる.

(A)最終到達点は

  p(θ)=1+1/2exp(iθ)+1/3exp(i2θ)+1/4exp(i3θ)+・・・

      =Σ(k=1,∞)cos((k−1)θ)/k+iΣ(k=1,∞)sin((k−1)θ)/k

 θ=π/2のとき

  p(π/2)=(1−1/3+1/5−1/7+・・・)+i(1/2−1/4+1/6−1/8+・・・)=π/4+i1/2log2

このとき,終点と原点との距離は

  |p(π/2)|={(π/4)^2+(1/2log2)^2}^1/2=0.8585

 θ=πのとき

  p(π)=1−1/2+1/3+1/4−・・・=log2

  |p(π)|=log2=0.693

最終到達点が原点から最も近いのは,θ=πのときであることが示される.

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