【１】保型形式とラマヌジャンの愛した和

　ラマヌジャンは

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

　　Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)

も証明している．

　ここで，πとωはそれぞれ，

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

　ガウスの算術幾何平均

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝π/2／∫(0,π/2)ｄθ/(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)

より

　　Ｍ（√2，１）＝π／ω

また，レルヒの公式

　　Δ(i)＝（ω／π√2）^12＝Γ^24(1/4)／２^24π^18

　　Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4＝３Γ^8(1/4)／６４π^6

もこの兄弟分にあたる．

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

に対して前節の方法を適用してみよう．第０項から始まるように，パラメータをずらすと

　　Σ(n+1)^5/{exp(2π(n+1))-1}

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+2)^5/(n+1)^5･{exp(2π(n+1))-1}/{exp(2π(n+2))-1}

であるから超幾何級数では表せないことがわかる．

　それではどうやってこれらの級数を証明したらいいのだろうか？　杉岡幹生氏に教えてもらったのだが，アイゼンシュタイン級数

　　Ｅ6　→　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

　　Ｅ2　→　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Ｅ4，ラマヌジャンのΔ　→　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

を用いればこれらを証明できるということであった．

　とはいえ自力では証明できなかったので，

　　［参］黒川信重・栗原将人・斉藤毅「数論�U，Fermatの夢と類体論」岩波書店

からの受け売りの証明を記しておく．

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

にｚ＝ｉを代入すると−１／ｉ＝ｉになることを利用するのである．

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504

（証）Ｅ6(-1/z)＝z^6Ｅ6(z)にｚ＝ｉを代入すると，Ｅ6(i)＝i^6Ｅ6(i)＝−Ｅ6(i)よりＥ6(i)=0

　　Ｅ6(i)＝１−５０４Σσ5(n)ｅｘｐ(-2πn)＝１−５０４Σn^5/{exp(2πn)-1}

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

（証）Ｅ2(-1/z)＝z^2Ｅ2(z)+6z/πiにｚ＝ｉを代入すると，Ｅ2(i)＝-Ｅ2(i)+6/πよりＥ2(i)=3/π

　　Σσ(n)ｅｘｐ(-2πn)＝Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240

（証）レルヒの公式より，Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4

　　Ｅ4(i)＝１＋２４０Σσ3(n)ｅｘｐ(-2πn)＝１＋２４０Σn^5/{exp(2πn)-1}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝