√２は無理数であることを証明せよの類似問題を掲げます．

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【１】3√２＝２^1/3は無理数である

　　3√２＝ｐ／ｑ　　　（ｐ，ｑは公約数をもたない）

と書けるとすると，

　　ｐ^3＝２ｑ^3　→　ｐは偶数でなければならない

ｐ＝２ｋと書けるとすると，

　　８ｋ^3＝２ｑ^3　→　４ｋ^3＝ｑ^3　→　ｑは偶数でなければならない

　ｐ，ｑは公約数２をももつことになり矛盾．よって，3√２は無理数である．

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【２】4√５＝５^1/4は無理数である

　√５が無理数であることは既知とする．

　　（4√５）^2＝√５

より，もし4√５が有理数ならば，√５は有理数となるので矛盾．

　無理数の有理数倍，無理数の逆数は無理数であるから

　　５^3/4＝５／５^1/4　→　無理数

　　５^5/4＝５・５^1/4　→　無理数

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【３】φ＝（１＋√５）／２＝２ｃｏｓ３６°は無理数である

　ｘは無理数，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数とする．このとき

　　ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ）

は無理数である．なぜなら．ｙが有理数ならば

　　ｘ＝（ｄｙ−ｂ）／（ａ−ｃｙ）

は有理数となり矛盾が生じる．これよりφは無理数である．

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【４】α＝√２＋√３は無理数である

　　α−√２＝√３

の両辺を２乗して，√２について解くと

　　√２＝（α^2−１）／２α

αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．

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【５】α＝3√２＋√２は無理数である

　　α−√２＝3√２

の両辺を３乗して，√２について解くと

　　√２＝（α^3＋６α−２）／（３α^2＋２）

αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．

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【６】α＝√２＋√３＋√５＋√７は無理数である

　　α＝√２＋√３＋√５＋√７が有理数と仮定する．

　　√５＋√７＝α−（√２＋√３）

　　１２＋２√３５＝α^2−２（√２＋√３）α＋５＋２√６

　　２√３５＝α^2−２（√２＋√３）α−７＋２√６

この両辺を２乗すると

　　ａ√２＋ｂ√３＋ｃ√６＝ｄ　　　（ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数）

の形になる．

　　ａ√２＋ｂ√３＝ｄ−ｃ√６　　　（ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数）

　　２（ａｂ＋ｃｄ）√６＝ｄ^2＋６ｃ^2−２ｘａ^2−３ｂ^2

ａｂ＋ｃｄ≠０の証明は割愛するが，αが有理数だと仮定すると，√６も有理数であることになり矛盾．

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【７】　ｍkを平方数ではない自然数，ｃkを有理数とするとき，

　　α＝√ｍ1＋√ｍ2＋・・・＋√ｍrは無理数である

　　α＝ｃ1√ｍ1＋ｃ2√ｍ2＋・・・＋ｃr√ｍrは無理数である

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