θ（ｔ）＝Σｅｘｐ（−πｍ^2ｔ）

とおくと，テータ関数に関するヤコビの恒等式（１８２９年）

　　θ（１／ｔ）＝√ｔθ（ｔ）

が成り立ちます．初項１も含めると

　　θ（ｔ）−１／√ｔ・θ（１／ｔ）＝１／２（１／√ｔ−１）

となります．

　この等式はポアソンの和公式とも呼ばれる有名な等式です．今回のコラムではこれを利用して

　　Σ（１５ｎ^2−３０πｎ^4＋８π^2ｎ^6）ｅｘｐ（−πｎ^2）＝０

を証明してみます．

　　［参］佐久間一浩「高校数学と大学数学の接点」日本評論社

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　　θ（ｔ）＝Σｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

　　θ’（ｔ）＝−πΣｎ^2ｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

　　θ”（ｔ）＝π^2Σｎ^4ｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

　　θ”’（ｔ）＝−π^3Σｎ^6ｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

　　Ｆ（ｔ）＝θ（ｔ）−１／√ｔ・θ（１／ｔ）＝１／２（１／√ｔ−１）

　　Ｆ’（ｔ）＝−１／４・ｔ^-3/2

　　Ｆ”（ｔ）＝３／８・ｔ^-5/2

　　Ｆ”’（ｔ）＝−１５／１６・ｔ^-7/2

　これより

　　１５θ’（１）＋３０θ”（１）＋８θ”’（１）＝０

が得られる．

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