１７２８年にベルヌーイは

　Σ１／ｎ^2＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

この和が８／５に近いと述べ，その後，オイラーは何年もこの足し算にとりつかれ大変な努力の末にこの値を求めましたが，π^2／６であることをつきとめたとき，平方数の逆数和のかなたに円周率が浮かび上がる不思議にとても感動したようです．

　オイラーがどうやって、

　ζ（２）＝１／１＾2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６

を発見したかについてはさておき，

　Σ１／ｎ^2＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

が収束することは次のようにして示すことができます．

（証明）ｎ次部分和をＰn とすると、

Ｐn ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ＝２−１／ｎ

＜２

より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

　なお，級数Σ１／ｎ（ｎ＋１）は，優雅な公式Σ１／ｎ^2＝π^2／６に表面的にはよく類似していますが、

　Σ１／ｎ（ｎ＋１）

＝Σ（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝（１−１／２）＋（１／２−１／３）＋（１／３−１／４）＋・・・

＝１

となり，両者の間には大きな格調の差があるという有名な例になっています．幾何学的に考慮すれば，級数Σ１／ｎ（ｎ＋１）は縦、横それぞれ１／ｋ，１／（ｋ＋１）の長方形を単位正方形の中に，Σ１／ｎ^2は１辺の長さが１，１／２，１／３，１／４，・・・の正方形を１辺の長さがπ／√６の正方形の中に詰め込む問題になります．

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　　Σ１／ｎ^2＜２

を示すことができたが，よりよい評価を与えてみたい．

　　Σ１／ｎ^2＜Σ１／（ｎ^2−１／４）

　　Σ１／（ｎ^2−１／４）＝Σ（２／（２ｎ−１）−２／（２ｎ＋１））

ｎ→∞のとき，Σ１／（ｎ^2−１／４）→８／５

　さらに

　　Σ１／ｎ^2＜１＋Σ(2-)１／（ｎ^2−１／４）

とおくと，ｎ→∞のとき，Σ１／（ｎ^2−１／４）→２／３

したがって，

　　Σ１／ｎ^2＜１＋Σ(2-)１／（ｎ^2−１／４）→５／３

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　ζ（２）＝１／１＾2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６

の証明は非常に多く知られていますが，obe sentence proofまではいかないものかなり短いものがあるようです．

　　［参］佐久間一浩「高校数学と大学数学の接点」日本評論社

にある別証を掲げます．

　オイラー積分

　　∫(0,π/2)ｌｏｇ（ｃｏｓｘ）ｄｘ＝−π／２・ｌｏｇ２

　　∫(0,π/2)ｌｏｇ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝−π／２・ｌｏｇ２

　　∫(0,π)ｘｌｏｇ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝−π^2／２・ｌｏｇ２

とポリログ関数

　　Ｌk（ｚ）＝Σｚ^n／ｎ^k

　　Ｌ1（−１）＝Σ（−１）^n／ｎ＝ｌｏｇ２

　　Ｌ2（−１）＝Σ（−１）^n／ｎ^2＝−１／２・ｌｏｇ２

を用います．

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^2／２＋２ｘＬ1（ｅ^x）−２Ｌ2（ｅ^x）

を微分すると

　　ｆ’（ｘ）＝ｘ（１＋ｅ^x）／（１−ｅ^x）＝ｉｘｃｏｔ（ｘ／２ｉ）

　　∫ｘｃｏｔｘｄｘ＝ｉ／４・ｆ（２ｉｘ）

　　∫(0,π/2)ｌｏｇ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝ｉ／４・（ｆ（πｉ）−ｆ（０））

ここで，

　　ｆ（０）＝−２Ｌ1（１）＝−２ζ（２）

　　ｆ（πｉ）＝−π^2／２＋２πｉＬ1（−１）−２Ｌ2（−１）＝−π^2／２＋２πｉｌｏｇ２＋ζ（２）

より，

　ζ（２）＝π^2／６

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