■書ききれなかった数の話(その24)

 半径1の円に正十二角形を内接させると,その周長は

  24sin15°

となる.

  sin15°=(√6−√2)/4

したがって,

  π>3(√6−√2)=3.10583

を得ることができる.

 (その23)では,半径1の円に正十二角形を内接させることによって,

  π>3.1

を証明することができた.この方法はもっとも標準的な解法であるが,次のような別解もあるという.

  [参]佐久間一浩「高校数学と大学数学の接点」日本評論社

===================================

  1/(1−x^2)=1+x^2+x^4+x^6+・・・

0<x<1において,

  1/(1−x^2)=1+x^2+x^4+x^6+・・・>1+x^2+x^4/4=(1+x^2/2)^2

 したがって,

  1/√(1−x^2)>1+x^2/2

 ここで,両辺を0から1/2=sinπ/6まで積分すると

  [x+x^3/6]=1/2+1/48

x=sinθとして置換積分すると

  ∫dx/√(1−x^2)=∫dθ=π/6

  π>3+1/8=3.125

===================================