超越数の例としては，

　　ｅ，π，ｅｘｐ（√２），ｌｏｇ２，２^√２，ｅｘｐ（π），ｌｏｇ10２

などがしれられいます．

　πとｅは最も有名な超越数ですが，π＋ｅ，πｅのうち，少なくとも一方は無理数であることはわかっています．π＋ｅが超越数かどうか（実は無理数であるかどうかさえ）未解決ですが，ｅｘｐ（π）＋πは超越数であることが証明されています．

［１］ｅｘｐ（π）＞π^ｅ

　　　ｅｘｐ（π）＝２３．１４０６９≒π＋２０

［２］ｔａｎ１°が無理数であることは加法定理を使って示すことができますが，ｓｉｎ１°が無理数であることの証明は格段と難しくなります．背理法を使って証明してみましょう．

　ｓｉｎ１°が有理数であると仮定する．３倍角の公式，

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

よりｓｉｎ３°は有理数．次に，５倍角の公式，

　　ｓｉｎ５θ＝１６ｓｉｎ^5−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ

よりｓｉｎ１５°は有理数．

　これは，

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は無理数

であることに矛盾する．

［３］ｌｏｇπは無理数でしょうか？　さらには超越数でしょうか？

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［Ｑ］π＋ｅ，πｅのうち，少なくとも一方は無理数であることを示せ．

［Ａ］どちらも有理数であるならば，

　　ｘ^2−（π＋ｅ）ｘ＋πｅ＝０

は有理数の係数をもつ方程式で，その根はπとｅであるが，それはπとｅは超越数であるという事実に反する．

　（誰もがそう信じているが）どちらも無理数であることが証明できれば素晴らしいのであるが，その証明はいまだ存在しない．

［Ｑ］π＋ｅ，π−ｅの両方が代数的数であることはあり得ないことを証明せよ．

［Ａ］代数的数は加法と乗法について閉じている．もしそうだとしたら，（π＋ｅ）＋（π−ｅ）＝２πも代数的数であることになり矛盾．

［Ｑ］πｅ，π／ｅの両方が代数的数であることはあり得ないことを証明せよ．

［Ａ］代数的数は加法と乗法について閉じている．もしそうだとしたら，（πｅ）・（π／ｅ）＝π^2も代数的数であることになり矛盾．

［Ｑ］π＋ｅ，πｅのうち，少なくとも一方は超越数であることを証明せよ．

［Ａ］？

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