「２（２^n−１）＝２^n＋２ｎの整数解を求めよ」

にはれっきとした幾何学的由来がある．左辺も右辺もｎ次元空間充填多胞体のファセット数なのである．

　グラフを描けばすぐに解は求まるが，この解をグラフを使わないで初等的に求めることはできるだろうか？

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　　２^n−１＝２^n-1＋ｎ

　　２^n-1＝ｎ＋１

［１］２^n-1＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ２）

　　ｎ＞１のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝２ｍ−１

　　ｎ＝１のとき，１≠ｎ＋１

［２］２^n-1＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ４）

　　ｎ＞２のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝４ｍ−１

　　ｎ＝２のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝１のとき，１≠ｎ＋１

［３］２^n-1＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ８）

　　ｎ＞３のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝８ｍ−１

　　ｎ＝３のとき，４＝ｎ＋１

　　ｎ＝２のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝１のとき，１≠ｎ＋１

［４］２^n-1＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ１６）

　　ｎ＞４のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝１６ｍ−１

　　ｎ＝４のとき，８≠ｎ＋１

　　ｎ＝３のとき，４＝ｎ＋１

　　ｎ＝２のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝１のとき，１≠ｎ＋１

となって（ＮＧを除去すれば）ｎ＝３であることが示される．すなわち，３次元は両者が一致する特殊な次元なのである．

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　ここでは点Ｑの座標が等差数列をなす切頂切稜正軸体

　　３^n−１−２^(n-1)ｎ胞体

から派生した問題について考えてみよう．

　　「２（２^n−１）＝３^n−１−２^(n-1)ｎの整数解を求めよ」

　左辺は置換多面体のファセット数，２（２^n−１）である．これもグラフを描けばすぐに解は求まる．すなわち，３次元は両者が一致する特殊な次元なのである．

　この解をグラフを使わないで初等的に求めたいのであるが，

　　２（２^n−１）＋２^n-1ｎ＝３^n−１

　　２（２^n−１＋２^n-2ｎ）−２＝（３−１）（３^n-1＋３^n-2＋・・・＋３＋１）

　　２^n−１＋２^n-2ｎ＝３^n-1＋３^n-2＋・・・＋３＋１

となって，整除性のチェック（ｍｏｄ２，４，８，１６，・・・），（ｍｏｄ３，９，２７，８１，・・・）は難しそうである．

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