【１】正軸体の投影面積

　ｎ次元単位超球に外接するｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積2^n）を２次元平面上に直投影した際の面積について記した際，原点から最も遠い点は頂点までの距離√ｎであるから，半径√ｎの円に内接する正２ｎ角形を考えればよい．したがって，その面積は，

　　Ｓo＝ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）

で与えられることになる．

　また，原点から最も近い点までの距離は，ｎ−１次元面までの距離で１となる．これらの最も近い点を結んだものがｎ次元正軸体である．ｎ次元正軸体の影は，ｎ次元立方体と同様に正２ｎ角形になるので，半径１の円に外接する正２ｎ角形を考えればよい．その面積は

　　Ｓi＝２ｎｔａｎ（π／２ｎ）

である．

　実際の投影面積Ｓは，

　　Ｓi≦Ｓ≦Ｓo

となるが，ｎが大きくなるほどＳoに近づくことが予想され，ｎ→∞のとき，

　　Ｓo＝ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）　〜　ｎπ

すなわち，超球との投影面積比は漸近的に

　　ｎπ：π＝ｎ：１

に近づくものと思われる．

　なお，その際，外接正２ｎ角形の面積は

　　Ｓi＝２ｎｔａｎ（π／２ｎ）→π

であるから，単位超球の投影面積に近づくことが理解される．

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　正軸体の場合，最も遠いのが距離１，最も近いのが距離１／√ｎである．最も近い点を結ぶとｎ次元立方体ができあがる．

　したがって，半径１の円に内接する正２ｎ角形

　　Ｓo＝ｎｓｉｎ（π／ｎ）

と，半径１／√ｎの円に外接する正２ｎ角形

　　Ｓi＝２ｔａｎ（π／２ｎ）

を考えればよいことになる．

　立方体の場合と同様に，

　　Ｓi≦Ｓ≦Ｓo

であるが，立方体の場合とは逆に円に外接する正２ｎ角形の面積を考える．すると，

　　Ｓi＝２ｔａｎ（π／２ｎ）　〜　π／ｎ

このことから超球との投影面積比は

　　π／ｎ：π＝１：ｎ

となるものと思われる．

　なお，内接正２ｎ角形では

　　Ｓo＝ｎｓｉｎ（π／ｎ）→π

となる．

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【２】正単体の投影面積

　正単体において，底面から頂点までの高さは

　　Ｈ＝√（１＋１／ｎ）

であることがわかっている．

１）重心からの最大距離は頂点までの距離，

　　Ｈ×ｎ／（ｎ＋１）＝√（ｎ／（ｎ＋１））

２）重心からの最小距離は底面までの距離，

　　Ｈ×１／（ｎ＋１）＝√（１／ｎ（ｎ＋１））

である．

　したがって，半径√（ｎ／（ｎ＋１））の円に内接する正ｎ＋１角形

　　Ｓo＝ｎ／２ｓｉｎ（２π／（ｎ＋１））

と，半径√（１／ｎ（ｎ＋１））の円に外接する正ｎ＋１角形

　　Ｓi＝２／ｎｔａｎ（π／ｎ＋１）

より，ｎ→∞のとき，

　　Ｓi＝２／ｎｔａｎ（π／ｎ＋１）　〜　２π／ｎ（ｎ＋１）

となることが理解される．

　なお，内接正ｎ＋１角形では，

　　Ｓo＝ｎ／２ｓｉｎ（２π／（ｎ＋１））〜ｎπ／（ｎ＋１）→π

が成り立つ．

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