２つの４次元ベクトル

　　ａ↑＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1，ｗ1）

　　ｂ↑＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2，ｗ2）

が作る平行四辺形の面積Ｓについて考えてみると，

　　Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝｜ｙ1　ｙ2｜^2＋｜ｚ1　ｚ2｜^2＋｜ｘ1　ｘ2｜^2

　　　　　｜ｚ1　ｚ2｜　　｜ｘ1　ｘ2｜ ｜ｙ1　ｙ2｜

　　　　＋｜ｘ1　ｘ2｜^2＋｜ｙ1　ｙ2｜^2＋｜ｚ1　ｚ2｜^2

　　　　　｜ｗ1　ｗ2｜　　｜ｗ1　ｗ2｜ ｜ｗ1　ｗ2｜

これは６次元ベクトルの長さの形をしていることがわかります．

　一般のｎ次元の空間では

　　ａ↑＝（ｕ1，・・・，ｕn）

　　ｂ↑＝（ｖ1，・・・，ｖn）

に対し，

　　Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2

　　　　＝Σ（ｕjｖk−ｕkｖj）^2

ただし，Σはｊ＜ｋとなるnＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２組に対して和をとるものとします．

　これは，ｎ（ｎ−１）／２次元ベクトルの長さの形をしているのですが，空間の次元が３のときだけ，運よく３次元ベクトルが得られていることがおわかり頂けたしょうか？　この事実は，外積が３次元ベクトルでしか定義できないことを示しています．

　ベクトルの外積は３次元特有のもので，２次元でも４次元でもだめなのですが，ほとんどの物理現象は３次元空間で生じますから，これでも汎用性は高いというわけです．

　また，このことは，ベクトルの内積が一般のｎ次元空間でも

　　ａ↑・ｂ↑＝Σｕkｖk

と表されるのと対照的です．

　もっとも４次元以上では２つのベクトルａ↑，ｂ↑の張る平面に直交する方向は一義ではなくなるので，話がおかしくなってしまうのですが，そのため，高次元空間の理論がうまく定式化されるために「外積の拡張」を導入することが必要になります．

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【１】外積の拡張

　３次元空間では，２つのベクトルの外積は

　　ｃ↑＝ａ↑×ｂ↑＝｜ｅ1↑　ｘ1　ｙ1｜

　　　　　　　　　　　｜ｅ2↑　ｘ2　ｙ2｜

　　　　　　　　　　　｜ｅ3↑　ｘ3　ｙ3｜

で表されましたが，４次元では３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑の張る超平面に直交する方向の向きと大きさをもつ量として，以下のように定義されます．

　　ａ↑×ｂ↑×ｃ↑＝｜ｅ1↑　ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　　　　　　｜ｅ2↑　ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　　　　　　｜ｅ3↑　ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

　　　　　　　　　　　｜ｅ4↑　ｘ4　ｙ4　ｚ4｜

　同様に，ｎ次元ではｎ−１本のベクトルの張る超平面に直交する方向の向きと大きさをもつ量として定義されます．このようにすると，３次元空間でなくとも，一般の次元上でも展開されて成り立ちます．そこに至って初めて，これらの定義の有難味が理解されます．

　石井源久先生の学位論文

　　「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに関する研究」

でも，拡張された外積が使われています．また，２次元ベクトル（ｘ1，ｙ1）の外積はそれを９０°回転させたベクトル（ｙ1，−ｘ1）ということになります．

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