石井源久先生の学位論文

　　「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに関する研究」

では，形状ベクトルｖ（ワイソフ構成と同じ０−１ベクトル）と変換行列Ｔを掛け合わせて，すべての頂点の座標を計算している．正軸体の変換先は立方体の場合と同じになるという．→（その３３０）

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【１】まずは復習から

　ここで，Ｈijとは，行列Ｈに対して添字ｉ，ｊで指定したｉ行・ｊ列を取り除いて得られる小行列という意味です．ｎ×ｎ行列：Ｈ＝｛ｈij｝のｉ行とｊ列を取り除いた小行列式に符号（−１）^(i+j)をつけたものをΔijとおくと，

　　Δij＝（−１）^(i+j)Ｈij

　Ｈの逆行列Ｈ^-1は，Δji／｜Ｈ｜を（ｉ，ｊ）要素とする行列

　　Ｈ^-1＝｛Δji／｜Ｈ｜｝

で表される（ΔijでなくΔjiになっていることに注意）．

　また，Ｈの行列式｜Ｈ｜は，

　　｜Ｈ｜＝ｈp1Δp1＋ｈp2Δp2＋・・・＋ｈpnΔpn　　（ｐ行についての展開）

　　｜Ｈ｜＝ｈ1qΔ1q＋ｈ2qΔ2q＋・・・＋ｈnqΔnq　　（ｑ列についての展開）

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　一般に，

　　｜１　１　・・　１｜　｜１　−１　・・・　０｜

　　｜０　１　・・　１｜　｜０　１　−１・・　０｜

　　｜０　０　・・・１｜＝｜０　０　１・・・　０｜＝１

　　｜０　０　・・　１｜　｜０　０　・・１　−１｜

　　｜０　０　・・ １｜　｜０　０　・・０　　１｜

を示してみよう．

　３次の行列式であれば，行列式を展開して

　　｜１　１　１｜　　　｜１　−１　　０｜

　　｜０　１　１｜＝１，｜０　　１　−１｜＝１

　　｜０　０　１｜　　　｜０　　０　　１｜

であることを確認することができる．しかし，直接

　　｜１　１　１｜

　　｜０　１　１｜

　　｜０　０　１｜

を

　　｜１　−１　　０｜

　　｜０　　１　−１｜

　　｜０　　０　　１｜

に変形することは難しいだろう．

　　｜１　１　・・　１｜ ｜１　０　・・　０｜

　　｜０　１　・・　１｜ ｜０　１　・・　０｜

　　｜０　０　・・・１｜＝｜０　０　・・・０｜＝１

　　｜０　０　・・　１｜ ｜０　０　・・　０｜

　　｜０　０　・・ １｜ ｜０　０　・・ １｜

は証明できるし，

　　｜１　−１　・・・　０｜ ｜１　０　・・　０｜

　　｜０　１　−１・・　０｜ ｜０　１　・・　０｜

　　｜０　０　１・・・　０｜＝｜０　０　・・・０｜＝１

　　｜０　０　・・１　−１｜ ｜０　０　・・　０｜

　　｜０　０　・・０　　１｜ ｜０　０　・・ １｜

を示すことによって，両辺が一致することを確認してみよう．それでも立派な証明だろう．

　たとえば，

　　｜１　−１　　０　　０｜ ｜１　０　０　０｜

　　｜０　　１　−１　　０｜＝｜０　１　０　０｜＝１≠０

　　｜０　　０　　１　−１｜ ｜０　０　１　０｜

　　｜０　　０　　０　　１｜ ｜０　０　０　１｜

まず，第４行を第３行に加えて，さらに第３行を第２行に，第２行を第１行に加えれば，対角行列式となる．対角行列の行列式の値は対角要素の積になるから，非特異となることが証明されたことになる．

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　　　　［１，１，１］

　　Ｔ＝［０，１，１］

　　　　［０，０，１］

の替わりに

　　　　［１，−１，　０］

　　Ｔ＝［０，　１，−１］

　　　　［０，　０，　１］

を考える．

　正規化すると

　　　　［１／√２，−１／√２，　０］

　　Ｔ＝［０，　１／√２，−１／√２］

　　　　［　０，　　　０，　　　１　］

　対角行列Ｔ’として，

　　　　　［√２，０，０］

　　Ｔ’＝［０，√２，０］

　　　　　［０，　０，１］

の各対角成分は基本単体の法線ベクトルの大きさを示しているのであって，Ｔ’は正規化する操作をしていると考えられる．

　その結果，ＴＴ’ｖを計算することは，たとえば，形状ベクトル［１，１，０］の場合

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２，ｚ＝０

　→ｘ＝２／３，ｙ＝１／３，ｚ＝０

となる計算と同等になるのである．

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