ｎ次元立方体は，

　　頂点数：　２^n，

　　稜数：　　２^(n-1)ｎ，

　　四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）

からなっている．このうち，頂点は（±１，±１，・・・，±１）であるから，確かに２^n個あることがわかるだろう．

　今回のコラムでは，ｎ次元立方体を２次元平面上に複数の頂点がなるべく重ならないように座標軸をとって，実際に描くことを試みたい．

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　しかし，実際のプログラミングにあたっては，２^n個ある頂点すべてを作業用配列に積んで記録しておくようなダサイ手は避けたいと思う．その代わり，すべての頂点を重複なく，遺漏なく数え上げるために，２進数を用いることにした．

　たとえば，８ビットのデータがあって，それらのＯＮ／ＯＦＦ状態が，

　　（ｂ7 　ｂ6 　ｂ5 　ｂ4 　ｂ3 　ｂ2 　ｂ1 　ｂ0 ）　

　　　　１　　０　　１　　１　　０　　０　　１　　０

という状態にあるとしよう．このとき，２進数１０１１００１０が，頂点

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

あるいは

　　（−１，＋１，−１，−１，＋１，＋１，−１，＋１）

に対応していると見なすことにすると，すべての頂点を重複も遺漏もなく数え上げることができるのである（4710，4720行）．

　次に考えるべきことは，ｎ次元立方体の各頂点からはｎ本の稜がでるということである．頂点

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

の場合，稜の対蹠点の座標は

　　（−１，−１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，＋１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，−１，＋１，−１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，−１，−１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，＋１，＋１，−１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，＋１，＋１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，−１，−１，−１）

　　（＋１，−１，＋１，＋１，−１，−１，＋１，＋１）

となる．

　したがって，ビットのＯＮ／ＯＦＦ状態を検査して，ｂxビットだけを反転（０→１，１→０）できれば，稜を描くことが可能となるだろう．そのためにはビット演算を行うが，たとえば，ｂ6ビットのＯＮ／ＯＦＦ状態を検査するために，２進数

　　　０　１　０　０　０　０　０　０

（すなわち１０進数で２^6）と対応するビット毎に論理積演算を行うと，

　　　１　０　１　１　０　０　１　０

　　　×　×　×　×　×　×　×　×

　　　０　１　０　０　０　０　０　０

　　　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓

　　　０　０　０　０　０　０　０　０

のように，上位ビットから下位ビットまですべてのビットが０になる．

　もし，ｂ6ビットが１の２進数であれば，

　　　１　１　１　１　０　０　１　０

　　　×　×　×　×　×　×　×　×

　　　０　１　０　０　０　０　０　０

　　　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓

　　　０　１　０　０　０　０　０　０

のように０とはならないから，１０進数の２^xとの論理積の関係を利用して，ビットの状態を判定することができるというわけである（＋１→−１，−１→＋１の反転）．

　このようにして２^n個の頂点からでるすべての稜を求めることができる．ひとつの稜を２回ずつなぞることになるが，それくらいの無駄は許容範囲であろう．

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